7.11. Применение метода потоков в механике сплошных идеальных сред

7.11.1. Общие замечания

Численное моделирование течений вязкого газа при различных числах Рейнольдса оказывается весьма важным, так как экспериментальные исследования в этой области являются весьма дорогостоящими и позволяют получить лишь ограниченную информацию. Аналитические подходы часто связаны со многими упрощающими предположениями, что значительно сужает область их применения.

Разработка численных методик для расчетов указанного типа течений представляет, таким образом, значительный интерес с практической точки зрения, а также с позиции самой вычислительной математики, так как речь идет о построении дискретной численной модели вязкого сжимаемого теплопроводного газа, являющейся одной из самых сложных (и общих) моделей в механике сплошной среды.

Следует отметить, что использовать модель Навье – Стокса (особенно для объемных, многомерных задач) целесообразно, лишь для небольших и умеренных чисел Re, где влияние молекулярной вязкости существенно. При больших (турбулентных) числах Рейнольдса, когда образуется молярный механизм переноса (где роль молекулярных эффектов незначительна), следует рассматривать уже модели другого рода.

Не случайно, видимо, при больших значениях Re решение полных уравнений Навье – Стокса с сохранением влияния членов молекулярной вязкости весьма затруднительно. Основная трудность, возникающая при их применении, состоит в достаточно точном «разрешении» структуры потока при не слишком малых размерах расчетной сетки (шаг сетки должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации конвективных членов была бы много меньше разностных представлений вязкостных членов). Эта трудность может быть частично преодолена применением сгущающихся в нужных местах сеток и схем повышенной точности.

При расчете таких моделей на реальных («грубых») сетках формальное решение может быть получено и для больших значений чисел Рейнольдса. Однако, такое решение может, вообще говоря, не соответствовать уравнениям Навье – Стокса, так как молекулярные эффекты здесь могут «забиваться» схемной (эффективной) вязкостью, обеспечивающей вычислительную устойчивость решения в целом. Данный подход (с приближенным механизмом диссипации энергии) можно использовать лишь для задач, где влияние вязкости незначительно и течение автомодельно по Re. Таким образом, представляется важным, чтобы алгоритм расчета вязких течений позволял осуществить предельный переход к моделям идеального газа, когда кинематическая вязкость .

Далее описывается один из численных подходов к изучению свойств течений сжимаемого газа – метод потоков. Отличительная черта указанного подхода заключается в численном решении с помощью консервативных разностных схем общих нестационарных уравнений, записанных в виде законов сохранения в интегральной форме для идеального и вязкого теплопроводного сжимаемого газа. Такой подход позволяет, по существу, избежать трудностей, связанных с аппроксимацией старших производных уравнений Навье – Стокса. Разделение вектора плотности потока на конвективную и вязкую составляющие дает возможность использовать данную методику для расчета движений, как вязкой, так и идеальной среды.