7.10.3. Основы численных методов

7.10.3.1. Задача интерполирования

При вычислениях оперируют с сеточными функциями, т.е. функциями, заданными на дискретной совокупности точек – узлов сетки [1-3]. Если нужно знать значения при , не совпадающих с узлами, то поступают следующим образом. Строят некоторую достаточно простую функцию , которая совпадет с в узлах . В промежуточных значениях функция приближенно представляет функцию . Эту функцию называют интерполирующей, а задачу ее отыскания – интерполированием.

К задаче интерполирования прибегают часто и тогда, когда аналитическое представление функции достаточно сложное и требуется много времени для ее вычисления. В таком случае может оказаться выгодным вычислить лишь в нескольких опорных точках , построить более простую интерполирующую функцию и использовать ее для вычислений. При этом, конечно, нужно знать, какая погрешность допускается при замене на .

7.10.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим простейший и самый распространенный случай, когда - многочлен. Требуется построить многочлен степени , который в заданных точках (узлах интерполирования) принимает заданные значения . Легко доказать, что такой многочлен только один. При помощи простых выкладок можно построить интерполяционный многочлен вида [5]

, (7.10.1)

где

. (7.10.2.)

Интерполяционный полином (7.10.1) называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

7.10.3.3. Погрешность интерполирования

Для получения информации о погрешности интерполирования необходимо оценить разность , считая функцию достаточно гладкой. Можно получить [5]:

(7.10.3)

где - точка, в которой , причем , - некоторая постоянная, которая выбирается так, чтобы в некоторой точке , не совпадающей ни с одним из узлов интерполяции , функция обратилась в нуль. Подробнее см. [5].

Формула (7.10.3) позволяет оценить погрешность полиномиальной интерполяции, если известна оценка для производной . Полагая

, (7.10.4)

имеем

. (7.10.5)

7.10.4. Вычисление интегралов

7.10.4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Пусть необходимо вычислить интеграл на отрезке . Разобьем интервал на частей узлами . Функцию заменим интерполяционным многочленом

, (7.10.6)

где оценивается по формуле (7.10.3). Тогда имеем

, (7.10.7)

где - погрешность интегрирования. Из (7.10.5) следует, что

. (7.10.8)

Подставляя (7.10.1) в (7.10.7), получим

, (7.10.9)

где

(7.10.10)

- коэффициенты квадратурной формулы. Формулы (7.10.9) называют формулами Ньютона-Котеса. Рассмотрим частные случаи.

7.10.4.2. Формула трапеций

Пусть , тогда , , Коэффициенты легко вычислить: Таким образом

. (7.10.11)

Формулу (7.10.11) называют формулой трапеций. На практике эту формулу применяют не ко всему отрезку сразу, а разбивают его на интервалы. Пусть , . Применяя формулу (7.10.11) к каждому из интервалов и суммируя, получаем

. (7.10.12)

7.10.4.3. Формула Симпсона

Рассмотрим теперь случай узлы интерполирования следующие . Коэффициенты имеют вид , . Таким образом,

. (7.10.13)

Формулу (7.10.13) называют формулой Симпсона. Разделив отрезок на частей и применив к интервалам формулу (7.10.13), получаем

. (7.10.14)

7.10.5. Численное дифференцирование

Если функция задана в точках , то естественным способом вычисления ее производной является дифференцирование интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа (7.10.1) приближает функцию с погрешностью , поэтому замена -ой производной -ой производной полинома Лагранжа порождает погрешность

, (7.10.15)

. (7.10.16)

Рассмотрим случай при равноотстоящих узлах , . Легко показать, что в этом случае выражения для вычисления производной будут выглядеть так:

, (7.10.17)

(7.10.18)

Эти формулы называют односторонними аппроксимациями первой производной функции соответственно вперед и назад; они имеют погрешность , т.е. аппроксимируют первую производную с первым порядком точности.

Формулы для производных при имеют вид:

,

(7.10.19)

Порядок аппроксимации этих формул равен двум.

Для более детального ознакомления с формулами интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования и другими аспектами численных методов можно порекомендовать [3, 5].