7.10.2.5. Метод конечных элементов

В этом методе исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются только в некотором осредненном смысле для выбранного типичного конечного объема («элемента») среды. При этом аппроксимация различных полей проводится на конечном элементе локально и независимо от его положения в общей модели. Основная сфера приложения указанного подхода – это механика твердого деформированного тела. На основе данного метода построен известный программный комплекс ANSYS.

Такой способ построения численного решения отличается от традиционных разностных схем в первую очередь принципом построения континуального приближенного решения. Так, в разностных схемах обязательно присутствуют этапы дискретизации, а затем уже проводиться восполнение полученного дискретного решения до континуального. Причем, обычно эти процедуры жестко между собой не связаны, что порождает известную неоднозначность континуального восполнения (особенно характерную для схем второго и выше порядков аппроксимации). В методе конечных элементов с самого начала построения численного решения ищется наилучшее (в той или иной норме) приближение точного решения в некотором пространстве (обычно это пространство кусочно-гладких функций). Таким образом, в этом подходе как бы отсутствует этап восполнения. В целом можно считать подобные аппроксимации математически более строгими и более удобными для обоснований.

С другой стороны, методики этого типа имеют свою область применения и свои характерные трудности. По способу представления приближенного решения (которое обычно непрерывно или непрерывно с рядом производных) такие подходы, прежде всего, приспособлены для нахождения решения задач эллиптического и параболического типов. При решении гиперболических задач методы конечных элементов нельзя считать достаточно эффективными. Основная причина заключается в том, что здесь полностью отсутствует использование такого фундаментального свойства гиперболических задач, как конечность области влияния. Это приводит к неестественному «завязыванию» всех узлов расчетной области, следствием чего являются неоправданно высокие (для задач гиперболического типа) требования к объему используемой памяти ЭВМ.

7.10.2.6. Метод дискретных вихрей

Указанный метод получил наибольшее распространение для расчета отрывных течений на основе модели идеальной несжимаемой жидкости. Непрерывные вихревые слои, моделирующие несущие поверхности и их следы, заменяются системой дискретных вихрей – прямолинейных и кольцевых (в зависимости от формы несущих поверхностей). Временной процесс представляется в виде последовательности расчетных слоев, причем граничные условия задачи выполняются в конечном числе контрольных точек на несущих поверхностях.

7.10.2.7. Статистические методы

Быстрое развитие вычислительной техники стимулировало разработку численных методов статистического моделирования (методы Монте-Карло) широкого класса задач механики жидкости, физики, биологии, химии. Этот класс задача условно можно разделить на два вида:

1. Задачи со стохастической природой. Для данных задач метод Моне-Карло используется для прямого моделирования естественной вероятностной модели. При этом точная динамика заменяется стохастичным многомерным процессом;

2. Детерминированные задачи. Указанные задачи описываются вполне определенными уравнениями. Здесь искусственно строится вероятностный процесс, который численно моделируется методом Монте-Карло на ЭВМ, что позволяет получить формальное решение в виде статистических оценок. При этом необходимо показать адекватность построенного вероятностного процесса рассматриваемому кинетическому уравнению.

В механике сплошных сред метод статистического моделирования (в комбинации с методом расщепления нашел широкое применение при исследовании течение разреженных газов, описываемых уравнением Больцмана и при изучении нестационарных турбулентных процессов, имеющих стохастическую природу.

Как обычно для подходов указанного типа, моделируемая среда здесь заменяется конечномерной системой частиц (молекул) фиксированной массы, для которой с помощью методов Монте-Карло проводится численное моделирование вероятностного процесса. В работе [4] показана принципиальная возможность построения и реализации таких численных алгоритмов. Однако данный подход носит эвристический характер и выдвигает очень высокие требования к ресурсам ЭВМ.