7. Идеальная среда

Под жидкостью будем понимать как собственно саму жидкость, так и газ, полагая, что оба эти агрегатных состояния вещества представляют собой сплошную среду.

Идеальной жидкостью называют жидкость, у которой отсутствует вязкое трение и объёмная вязкость ( = 0,  = 0), теплопроводность ( = 0), а модуль сдвига равен 0 ( = 0). Несмотря на то, что это весьма идеализированная модель сплошной среды, многие характерные черты движения жидкостей могут быть изучены при помощи этой простейшей модели, по крайней мере, вдали от поверхности обтекаемых тел.

7.1. Уравнения движения для сжимаемой и несжимаемой идеальной среды

7.1.1. Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды

В пренебрежении вязкостью для идеальной ньютоновской среды общий тензор напряжений согласно (6.11.2) имеет простой вид:

. (7.1.1)

Поэтому уравнение движения идеальной среды в соответствии с уравнением (6.4.9) можно записать в следующей форме:

(7.1.2)

Вообще говоря, можно было бы ослабить условие идеальности и полагать, что вязкость жидкости настолько мала, что . Однако это условие заведомо не выполняется вблизи поверхности обтекаемых тел.

Уравнение (7.1.2) называют уравнением Эйлера. Уравнение непрерывности движения (6.3.5), конечно, сохранит свой вид. Уравнение сохранения внутренней энергии согласно уравнению (6.7.7) и уравнению (6.7.1) можно записать в виде

, (7.1.3)

поскольку

Из второго уравнения системы – уравнения сохранения энтропии (6.7.10) следует физически очевидный результат:

, (7.1.4)

т.е. энтропия единицы массы индивидуальной частицы идеальной жидкости сохраняется в процессе движения. Этот результат очевиден, т.к. сделанные выше предположения лишили жидкость механизмов возрастания энтропии.

Таким образом, система уравнений сохранения для идеальной жидкости имеет вид:

(7.1.5)

Таким образом, имеется пять уравнений для нахождения семи неизвестных искомых функций (если внешние силы заданы): Для замыкания системы уравнений (7.1.5.) до полной необходимо добавить термическое уравнение состояния:

Внутренняя энергия _вн также может быть определена из калорического уравнения состояния:

7.1.2. Движение несжимаемой среды

Условием несжимаемости среды, как отмечалось ранее, является уравнение . В этом случае из уравнения непрерывности (6.3.3) следует, что dρ/dt =0, т.е. массовая плотность не зависит ни от координат физического пространства х_i , ни от времени t. Тогда в уравнении Эйлера (7.1.2) плотность ρ можно внести под знак производной и уравнение записать в векторном виде

(7.1.6)

Для изоэнтропических движений несжимаемой среды уравнение (7.1.6) можно преобразовать к виду, содержащему только скорость. Для этого предположим, что внешние силы являются потенциальными, т.е. . Воспользуемся известной формулой из векторного анализа вида

(7.1.7)

После подстановки (7.1.7) в уравнение движения (7.1.6) получим:

(7.1.8)

Применив операцию rot к обеим частям уравнения (7.1.8) и учитывая, что rot0, имеем:

(7.1.9)

Данное уравнение называют уравнением Эйлера в форме Громека. Это уравнение замечательно тем, что оно содержит только вектор скорости. Таким образом, в случае течений несжимаемых сред, если массовые силы являются потенциальными, скорости могут быть найдены независимо от других параметров течения.

При заданных краевых и начальных условиях решение уравнения (7.1.9) существует и оно единственное, т.е. задача становится чисто кинематической. Для отыскания других переменных характеристик течения необходимо, зная , вернуться к исходной форме уравнения движения Эйлера (7.1.6). Например, плотность может быть найдена из уравнения непрерывности, а — из уравнения движения Эйлера (7.1.6).

Если ввести аксиальный вектор  соотношением , то уравнение Громека можно записать в виде

. (7.1.10)