7.9.2. Распределение давления около движущегося цилиндра

Найдем распределение давления на поверхности цилиндра. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли в форме (7.5.3), в котором для рассматриваемого нестационарного потенциального движения идеальной среды в отсутствии массовых сил баротропный потенциал равен Ф(P)=P/ρ:

(7.9.9)

Так как на бесконечности жидкость покоится, т.е. и , то давление P(r) в любой точке среды равно

(7.9.10)

Из (7.9.6) следует, что потенциал скорости в нестационарной постановке может явно или неявно зависеть от времени t , т.-е., если потенциал  и зависит от времени, то неявно через зависимость от времени скорости движения индивидуальной частицы, т.е. u = (r, t). Формула (7.9.8) описывает зависимость потенциала  и от координаты точки около цилиндра в тот же момент времени. Зависимость от времени очевидная, если характеризует точку в неподвижной системе координат. Но в такой нестационарной постановке задачи вся стационарная картина обтекания движется в неподвижной системе координат со скоростью , поэтому . Дифференцируя потенциал  по времени t как сложную функцию, получаем

(7.9.11)

Используя (7.9.6), можно получить слагаемые в правой части (7.9.11) в виде:

Таким образом, производная равна

(7.9.12)

На поверхности цилиндра ( ) производная равна

(7.9.13)

Квадрат модуля скорости с использованием (7.9.8) равен

(7.9.14)

Подставляя полученные выражения (7.9.13, 14) в (7.9.10), получим следующую формулу для распределения давления по поверхности цилиндра:

(7.9.15)

Если движение цилиндра стационарное, т.е. , то из (7.9.15) следует:

(7.9.15а)

При давление на поверхности цилиндра в точках С и D равно давлению в набегающем потоке (сравни с рис.7.18). При давление является наибольшим и наименьшим соответственно:

. (7.9.15б)

Таким образом, в отличие от обтекания неподвижного цилиндра при движении цилиндра с постоянной скоростью u силы давления со стороны идеальной среды стремятся «сжать» его в направлении, перпендикулярном движению, и растянуть в направлении движения, т.е. среда как бы препятствует.

движению цилиндра.

7.9.3. Сила сопротивления движущегося шара. Присоединенная масса

Вычислим согласно (7.6.21) силу лобового сопротивления , которую испытывает единица длины цилиндра при своем нестационарном движении в среде со скоростью u = u(t) в направлении оси х по формуле

После подстановки (7.6.39) в данное определение , получим:

(7.9.16)

Остальные слагаемые обращаются в нуль в виду интегрирования по полному периоду изменения угла .

Направление силы сопротивления, как видно из формулы (7.9.16), зависит от знака производной . Если цилиндр двигается слева направо (рис. 7.26) с ускорением ( ), то сила сопротивления направлена справа налево, т.е. она отрицательная и препятствует ускорению движения. Если при движении в том же направлении цилиндр двигается с замедлением, то сила сопротивления действует в сторону движения цилиндра, т.е. она положительная и стремится ускорить его движение.

При равномерном движении цилиндра и имеет место парадокс Даламбера F_x.=0. Таким образом, парадокс Даламбера не имеет места и при движении цилиндра с ускорением или замедлением.

В силу симметрии движения относительно оси y очевидно, что подъемная сила F_y равна нулю. В этом нетрудно убедиться и аналитически.

Запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось , направленную вдоль скорости . Пусть на цилиндр единичной длины действует некоторая внешняя сила , вызывающая его движение в среде и направленная также вдоль выбранной оси. Если М есть масса единицы длины цилиндра, то с учётом (7.9.16) уравнение движения в соответствии со вторым законом Ньютона имеет вид (если через F_H обозначить силу Ньютона):

(7.9.17)

Таким образом, уравнение движения (7.9.17) аналогично уравнению Ньютона в отсутствии силы сопротивления, но с массой тела, увеличенной на величину , которую называют присоединённой массой. Присоединенная масса зависит от формы тела, и для цилиндра единичной длины и шара она равна

(7.9.18)

В случае тела произвольной формы присоединённая масса является тензорной величиной и может быть вычислена для тела любой геометрической формы. Присоединённая масса является геометрической характеристикой формы тела, обтекаемого средой, определяется плотностью среды, в которой тело двигается, и зависит от его ориентации в набегающем потоке. Действие силы, связанной с присоединённой массой, аналогично действию силы инерции.

Если присоединенная масса значительно меньше массы тела, то ею можно пренебречь и рассматривать обычное уравнение движения, как, например, в случае движения тяжелых тел в воздухе, плотность которого при атмосферном давлении на три и даже четыре порядка меньше, чем плотность твёрдого тела. Однако в некоторых случаях это не так, и в уравнениях движения следует учитывать присоединённую массу (например, движение подводной лодки, масса которой по порядку величины сравнима с присоединённой массой, или движение воздушных шаров и дирижаблей).

В качестве примера рассмотрим движение воздушного шара, наполненного газом. Пусть масса воздушного шара вместе с находящимся в нем газом, оболочкой и гондолой равна М₁, а масса вытесненного им воздуха равна М₀. На шар действуют выталкивающая архимедова сила F_A и сила тяжести F_T. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тогда уравнение движения имеет вид:

(7.9.19)

Уравнение движения в форме (7.9.19) получено для случая движения шара под действием силы ΔF с переменной скоростью . С увеличением скорости увеличивается и сила сопротивления воздуха, которая затормаживает движение шара, уменьшая его скорость. Через некоторое время эта сила сопротивления уравновесит разгоняющую шар силу , и он будет двигаться с постоянной скоростью . Но если скорость u изменяется со временем, то в правой части (7.9.19) необходимо учесть присоединённую массу шара. В этом случае уравнение движения шара имеет вид:

(7.9.20)

Из сравнения (7.9.19) и (7.9.20) получаем:

(7.9.21)

Если , то из (7.9.21) следует, что с учётом присоединённой массы ускорение воздушного шара в 3/2 раза меньше, чем без ее учёта. Поэтому на практике воздушный шар сразу после отрыва вначале «как бы нехотя» начинает движение, постепенно ускоряясь до некоторой постоянной скорости, соответствующей равенству силы сопротивления воздуха и разности силы архимедовой и силы тяжести шара.

На практике проявление эффекта присоединённой массы можно наблюдать на таких примерах. Так, капитаны подводных лодок, надводных кораблей и судов для предотвращения столкновения с причалом должны учитывать эффект присоединённой массы при расчёте расстояния до причала, на котором необходимо сбавить обороты судовых двигателей до минимальных (нулевых). При торможении судна на него действует гидродинамическая сила, препятствующая торможению и стремящаяся двигать судно в прежнем направлении.

Даже при движении тяжёлых тел в воздухе в некоторых случаях необходимо учитывать эффект присоединённой массы. Можно показать, что часы со сферическим маятником при движении в воздухе будут отставать в сутки на несколько секунд, если не учитывать присоединённую массу.