7.9. Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде

7.9.1. Постановка задачи и методика решения

При решении задач о движении идеальной среды можно обратиться и непосредственно к уравнениям движения с соответствующими граничными условиями. В качестве примера рассмотрим движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде (рис. 7.26). Заметим, что такое движение можно рассматривать как плоское. Будем также полагать, что движение среды, вызываемое движением в

Рис. 7.26

нем цилиндра, является потенциальным. Существенное отличие поставленной задачи от задачи обтекания неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком заключается в том, что рассматриваемое движение не является стационарным в неподвижной системе координат. Действительно, по мере продвижения цилиндра в неподвижной среде скорость индивидуальной частицы в каждой фиксированной точке

пространства изменяется с течением времени. Вдали от цилиндра (на бесконечности0 будем полагать среду неподвижной. Несмотря на то, что задача является нестационарной, потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа, не содержащему времени явно, т.е. .

Так как на бесконечности , но , то производные по координатам должны на бесконечности обращаться в нуль. Известно, что такими производными для цилиндрических задач являются производные по координатам, начиная с первого порядка и выше, т.е. или . Так как есть скалярная функция, а есть вектор, то общее выражение для искомого потенциала скорости должно иметь вид:

(7.9.1)

Здесь вектор есть некоторый независящий от координат вектор, который может быть связан только с единственным, имеющимся в нашем распоряжении вектором, от которого может зависеть решение - вектором скорости движения цилиндра . Эта связь может быть установлена из граничных условий на поверхности цилиндра:

(7.9.2)

Поскольку , то из (7.9.1) следует

(7.9.3)

Используя (7.9.3), можно определить градиент потенциала скорости в виде

(7.9.4)

После подстановки (7.9.3) в (7.9.2) можно получить

(7.9.5)

Таким образом, потенциал скорости  определяется соотношением

(7.9.6)

Скорость движения индивидуальной частицы среды по определению равна

(7.9.7)

Из определения вектора скорости согласно (7.9.7) и рис.7.26 легко найти компоненты скорости и :

(7.9.8)

Данные значения компонент скоростей определены в системе координат, двигающейся со скоростью . В этой системе координат ни , ни и не зависят от времени t.

Таким образом, в каждый момент времени распределение скоростей вокруг двигающегося цилиндра удовлетворяет уравнениям (7.9.8). Поэтому с точки зрения наблюдателя, двигающегося вместе с цилиндром, картина движения среды около цилиндра стационарна.

Следует заметить, что из полученного решения можно получить обтекание неподвижного цилиндра, если на движение, описываемое формулами (7.6.32), наложить движение всей среды вместе с цилиндром с постоянной скоростью , направленной справа налево. Тогда будет иметь место обтекание неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком с направленной справа налево скоростью . Распределение скоростей такого движения описывается полученными выше формулами (7.6.9), если в них изменить знак скорости набегающего потока и заменить скорость скоростью u :

(7.9.8а)