7.6.2. Обтекание плоской пластинки идеальной несжимаемой жидкостью

Рассмотрим потенциальное ( )обтекание неограниченно широкой плоской пластины однородным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Очевидно, что картина обтекания будет идентична во всех плоскостях, перпендикулярных пластинке. Поэтому достаточно рассмотреть движение жидкости в одной из плоскостей.

Рис.7.15

Пусть пластинка длиной (рис.7.15) расположена вдоль оси комплексной плоскости . Пусть далее скорость набегающего потока на пластинку вдали от нее постоянна, равна и направлена вдоль оси . Картина обтекания в данном случае очевидна. Действительно, т.к. идеальная жидкость может беспрепятственно скользить вдоль пластинки, то пластинка вообще не оказывает никакого

воздействия на поток, т.е. потенциальный плоскопараллельный набегающий поток останется таковым вблизи пластинки и после неё. Тогда линии тока ( ) такого обтекания будут линиями, параллельными оси , а линии равного потенциала ( )  перпендикулярными к ней. Принимая во внимание вышесказанное, имеем:

, . (7.6.3)

Из первого равенства (7.6.3) имеем:

, . (7.6.4)

Из второго равенства (7.6.3) следует очевидный факт, что потенциал скорости , которая не зависит от , а функция тока , которая не зависит от . Поэтому эти функции не зависят ни от , ни от и несущественны, т.к. определяются лишь началом отсчёта и можно их положить равными нулю.

Составим комплексный потенциал :

, (7.6.5)

Здесь  комплексная переменная в плоскости .

Далее используем конформное отображение точек комплексной плоскости в точки комплексной плоскости с переменной в виде

(7.6.6)

Из (7.6.6) следует

Рассмотрим, как точки области плоскости преобразуется в точки плоскости . Пластинка в плоскости x₁oy₁ описывается уравнениями . Тогда предыдущее равенство принимает вид:

Таким образом, уравнение пластинки в плоскости xoy имеет вид:

. (7.6.7)

Это уравнение есть уравнение окружности радиуса . Причем, точки плоскости , имеющие или , как нетрудно показать, попадают вне круга.

Таким образом, если в комплексной плоскости имеет место обтекание пластинки шириной 4r₀ однородным плоскопараллельным потоком среды, то в плоскости z при помощи конформного отображения (7.6.6) оно преобразуется в поперечное обтекание этим же потоком бесконечного цилиндра радиусом r₀ Причем, общие свойства конформных отображений гарантируют, что в точках, удалённых на бесконечность, сохраняется направление линий  = const и  = const и их ортогональность в любой точке пересечения.

7.6.3. Обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью

Рассмотрим картину обтекания цилиндра в плоскости xoy (рис.7.16). Най-дём комплексный потенциал  в точке с радиус-вектором r в полярной системе координат ( ):

.

Умножая числитель и знаменатель дроби выражения в скобках на комплексно сопряженное число, получаем:

Из этого определения  следуют следующие формулы для и :

, . (7.6.8)

Из любого определения (7.6.8) для или можно теперь вычислить компоненты и скорости в точке :

, (7.6.9)

Рис.7.16

Пользуясь полученными выражениями (7.6.8), нетрудно построить линии тока ( ) и линии равного потенциала  потенциальные линии ( ). Если ввести безразмерный модуль радиус-вектора и безразмерный расход , где есть расход жидкости вдали от обтекаемого цилиндра через площадку высотой и единичной длины, то второе уравнение (7.6.8) приводится к виду

.

Задавая величины , где m и n имеют целочисленные значения, и углы , возможно по известной квадратурной формуле вычислить значения и r , а затем построить линии тока. Аналогично строятся и линии равного потенциала. На рис 7.17 изображена примерная картина расположения линий тока и линий равного потенциала при обтекании цилиндра. В силу симметрии изображена лишь верхняя половина течения.

Рис. 7.17

Из (7.6.9) видно, что полученное решение удовлетворяет граничным условиям для идеальной жидкости: при Компоненты скорости и в любой точке поля течения вычисляются по формулам (7.6.9), а значение модуля скорости индивидуальной частицы может быть определено по формуле:

(7.6.10)

На поверхности цилиндра модуль скорости равен Очевидно, скорость имеет максимальное значение на поверхности цилиндра при углах При этом абсолютное значение максимальной скорости равно Из формулы (7.6.10) видно также, что в критических точках на поверхности цилиндра ( = 0, ) модуль скорости равен нулю.

Подбирая соответствующее конформное отображение , можно из простейшей задачи обтекания пластинки получить, например, обтекание эллипса, некоторого профиля крыла и других плоских тел, имеющих более сложную форму. В такой математической формализации и заключается эффективность применения теории функций комплексного переменного к решению задач о плоском, потенциальном движении идеальной жидкости.