7.5.2. Функция тока для плоского движения идеальной среды

Движение среды называют плоским, если все характеристики движения зависят только от двух координат или плоское движение  это такое движение, при котором во всех плоскостях, параллельных координатной плоскости , его характеристики одинаковы.

Для описания плоского потенциального движения несжимаемой среды удобно ввести ещё одну функцию - функцию тока. Эту скалярную функцию определяют следующим образом:

(7.5.6)

Можно показать, что функция тока условию несжимаемости удовлетворяет автоматически по ее определению (7.5.6). Действительно, имеем

, .

Для плоского потенциального движения имеем:

, , , (7.5.7)

Таким образом, при плоском потенциальном движении несжимаемой среды, как потенциал скорости , так и функция тока должны удовлетворять уравнению Лапласа, т.е. они являются гармоническими функциями. При непотенциальном движении функция тока должна удовлетворять уравнению, которое можно получить, подставляя (7.5.6) в уравнение Громека (7.1.10). Очевидно, что функция тока может быть введена только для плоского движения среды.

7.5.3. Свойства функции тока

Функция тока обладает рядом свойств, которые оправдывают её введение:

1. Линии тока  это линии, которые удовлетворяют уравнению .

Действительно, уравнение линии тока имеет вид:

, , , , .

2. Если на плоскости между двумя точками, лежащими на двух различных линиях тока, провести некоторую произвольную кривую, то поток среды через эту кривую будет определяться разностью значений функций тока для этих линий тока.

Действительно, расход жидкости Q через линию 1-2, а точнее через площадку единичной ширины в направлении оси z со стороной dl в плоскости (x,y) (рис.7.14), равен:

Далее, из рис 7.14 очевидны соотношения: Подставляя полученные соотношения в формулу для расхода Q и используя определение функции тока (7.5.6), получим:

(7.5.8)

3. Линии тока и линии равного потенциала взаимно ортогональны в каждой точке поля течения.

Направления нормальных единичных векторов к этим линиям определяются соотношениями:

Скалярное произведение этих единичных векторов равно:

Рис.7.14

Но согласно определения потенциала скорости  (7.5.1) и функции тока  (7.5.6) легко видеть, что и последнее соотношение равно нулю. Действительно: (7.5.9) Таким образом, линии семейства и линии семейства в точках пересечения взаимно ортогональны, т.е. пересекаются под прямым углом под прямым углом.

7.6. Некоторые методы решения газодинамических задач для идеальной жидкости

Для решения задач о движении идеальной жидкости разработаны специальные методы математического анализа. Рассмотрим применение некоторых из этих методов при решении конкретных задач.

7.6.1. Метод конформных отображений

В соответствии с определениями потенциала скорости  (7.5.1) и функции тока  (7.5.6) для плоского, потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости компоненты и скорости индивидуальной частицы равны:

(7.6.1)

Но соотношения (7.6.1) для функций  и  представляют собой известные условия Коши - Римана для комплексной функции вида

 =  + i,  = (z),

где комплексная функция  является аналитической функцией комплексного аргумента z = x + iy, т.е. функция (z) в каждой точке комплексной плоскости имеет определенную производную

(7.6.2)

Функцию (z) называют комплексным потенциалом, а производную - комплексной скоростью.

Таким образом, используя теорию функций комплексного переменного, имеется возможность иметь дело не с двумя функциями  и  от двух аргументов x и y, а лишь с одной комплексной функцией  от одного комплексного переменного z.

Кроме того, начиная с решения какой-либо тривиальной задачи, методами конформных отображений можно получить решение целого ряда более сложных задач, прямое решение которых часто бывает затруднительно.