7.5. Потенциальное движение
7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия
Движение
идеальной среды называют потенциальным,
если в любой точке пространства, занятого
движущейся средой,
.
Поэтому скорость может быть представлена
в виде градиента некоторой скалярной
функции
называемой потенциалом скорости,
т.е.
(7.5.1)
Действительно, если скорость может быть представлена в виде градиента скалярной функции, то движение потенциально, т.к.
Для потенциального
движения
циркуляция по любому замкнутому
индивидуальному или неиндивидуальному
контуру в односвязной области течения
равна нулю, т.е.
Это означает, что при потенциальном движении не может быть замкнутых линий тока, т.к. в противном случае (линия тока совпадает с замкнутым контуром интегрирования) циркуляция скорости была бы отлична от нуля.
Баротропное нестационарное движение в поле сил тяжести описывается уравнением Эйлера (7.1.9, 7.2.8)
(7.5.2)
Но для потенциального движения идеальной среды согласно (7.5.1) имеем
Поэтому из (7.5.2) следует уравнение вида
(7.5.3)
Постоянная
в правой части уравнения (7.5.3) при
нестационарном движении может зависеть
от времени, однако в данный момент
времени она одинакова для всех точек
пространства, занятого средой. Поскольку
конечной целью является нахождение
скорости движения среды, а скорости
определяются производными от потенциала
по координатам согласно (7.5.1), то любая
функция времени, добавленная к потенциалу,
не изменит результата при вычислении
скоростей. Заменяя
на
в левой части (7.5.3), получаем в правой
части уравнения (7.5.3) нуль. Поэтому без
ограничения общности рассмотрения
можно в уравнении (7.5.3) функцию
положить равной нулю.
Для
стационарного движения
и из уравнения (7.5.3) следует обычное
уравнение Бернулли с постоянной в правой
части, не зависящей ни от координат, ни
от времени.
Ранее было показано, что для идеальной среды, которая является несжимаемой, должно выполняться условие div = 0. Но согласно (7.5.1) это условие дает уравнение
(7.5.4)
Таким
образом, при стационарном потенциальном
движении несжимаемой среды необходимо
найти лишь одну скалярную функцию
,
которая удовлетворяет уравнению Лапласа
(7.5.4). Поскольку при нестационарном
движении потенциал скорости
должен быть функцией не только координат,
но и времени, согласно (7.5.3), а уравнение
Лапласа содержит лишь производные по
координатам, то отсюда следует, что
время в
может быть введено только через граничные
условия.
Граничные условия для идеальной среды в каждой точке поверхности обтекаемого тела имеют вид
Здесь
нормальная к
поверхности обтекаемого тела компонента
скорости среды,
нормальная компонента
скорости движения элемента поверхности
тела (если поверхность неподвижна, то
).
Для потенциального движения граничные
условия можно записать в виде:
(7.5.5)
Величина должна быть задана как функция координат и времени, т.е.
Таким образом, потенциал
в любой точке несжимаемой среды зависит
от времени так же, как и потенциал на
поверхности обтекаемого тела. Так, если
при движении тела в идеальной несжимаемой
среде создаваемое им движение является
потенциальным, то в каждый момент
времени потенциал во всех точках среды
зависит лишь от скорости
движения тела в тот же момент времени.
Физически это можно понять, если принять во внимание, что возмущение, а следовательно, и взаимодействие между различными частями несжимаемой среды распространяется с бесконечной скоростью. Поэтому изменение скорости в какой-либо точке на поверхности ведёт к мгновенному изменению скоростей во всех точках поля течения идеальной несжимаемой среды.