7.4.3. Прямолинейная одиночная вихревая нить

Прямолинейной вихревой нитью называют область пространства, в которой среда вращается относительно неограниченно длинной прямолинейной оси симметрии. Рассмотрим такую нить, ось которой перпендикулярна плоскости (рис.7.8). Интенсивностью прямолинейной вихревой нити называют предел следующего вида

(7.4.11)

Наличие вихря приводит к появлению некоторого поля скоростей среды вокруг центра нити. Для неограниченно длинной прямолинейной нити поле скоростей, очевидно, будет обладать цилиндрической симметрией. Движение жидкости одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных нити. В этих плоскостях частицы двигаются по окружностям, центром которых является след нити на плоскости. Такое движение среды называют плоским вихрем. Закон изменения скорости частиц в плоском вихре в зависимости от расстояния от нити можно получить, если воспользоваться определением циркуляции скорости (7.4.1) и теоремой Томсона:

(7.4.12)

Из (7.4.12) видно, что движение в таком вихре имеет особенность в точке r = 0, где   .

Рис.7.8

Рассмотрим один из примеров пло-ского вихря с постоянной циркуляцией (рис.7.8). Пусть индивидуальная частица вращается в плоском вихре на расстоянии r от центра вихря со скоростью . Запишем выражение из векторной алгебры для в цилиндрической системы координат:

(7.4.13)

Если частица в плоском вихре (см. рис.7.8) вращается по часовой стрелке, то согласно определению направлен в сторону, откуда вращение частицы наблюдается против движения часовой стрелки, т.е. направлен за плоскость чертежа (от наблюдателя). Поэтому ненулевым является только единственный орт направления оси z, а именно , а . Поэтому в (7.4.13) первое и второе слагаемое равны 0. Поскольку для плоского вихря составляющие скорости , а определяется в соответствии с (7.4.12), то очевидно, что и третье слагаемое в (7.4.13) также равно нулю, т.к. .

Таким образом, в плоском вихре (рис.7.8) = 0. Это означает, что движение среды в таком плоском вихре является безвихревым, т.е. потенциальным, и индивидуальные частицы вращаются по окружности с различными радиусами r без вращения вокруг осей, проходящих через них. Схематично такое движение частиц изображено на рис.7.9. В природе такое движение можно наблюдать при истечении жидкости из сосуда с отверстием в его дне, т.е. при наличии воронки на поверхности жидкости.

Рис.7.9 Рис.7.10

Рассмотрим теперь случай, когда жидкость вращается как абсолютно твёрдое тело. Причем, индивидуальная частица, находящаяся на расстоянии от оси вихря (рис. 7.8), вращается с линейной скоростью , где есть угловая скорость вращения. Запишем i - компоненту ротора скорости движения индивидуальной частицы, используя тензорную запись в виде:

Если в первом символе Леви-Чивита дважды переставить индекс , то его знак не изменится, т.е. . Далее, запишем скалярное произведение двух символов Леви-Чивита через разность скалярных произведений соответствующих символов Кронекера согласно шестого свойства символа Леви-Чивита (см. п. 6.5) и проведем простейшие преобразования. В результате имеем:

(7.4.14)

Следовательно, i-я компонента ротора линейной скорости движения индивидуальной частицы в плоском вихре в среде, вращающейся как абсолютно твёрдое тело, определяется i-ой компонентой угловой скорости мгновенного поворота самой частицы. Поэтому при одном повороте такой индивидуальной частицы в плоском вихре вокруг некоторой оси она совершает один оборот вокруг оси, проходящей через неё (рис. 7.10). Таким образом, движение среды в плоском вихре как абсолютно твёрдого тела является движением вихревым, не потенциальным .

Рассмотрим ещё один случай, когда частицы двигаются прямолинейно вдоль некоторой плоской поверхности в направлении оси х с градиентом скорости по нормали к поверхности (ось у). Пусть профиль скорости определяется линейным законом (рис. 7.11). Запишем ротор скорости в виде матрицы:

Рис 7.11

Отличной от нуля является только z-компонента ротора , которая равна

Таким образом, стационарное движение идеальной среды вдоль поверхности с некоторым профилем скорости является вихревым, поскольку с течением времени индивидуальная частица за счёт разности скоростей верхней и нижней её границ изменяет свою форму, вращаясь относительно проходящей через неё оси.

Не следует отождествлять вихревое движение только с движением частиц по окружности: не всякое движение по окружности является вихревым и не всякое вихревое движение есть движение по окружности. Движение называют безвихревым (потенциальным с ) только тогда, когда индивидуальные частицы двигаются без вращения относительно некоторых осей, проходящих через сами частицы. В противном случае движение называют вихревым, не потенциальным с .