2.4.5. Врахування граничних умов

Розрізняють два типи граничних умов: головні граничні умови та природні граничні умови. Формальну ознаку поділу граничних умов на головні та природні можна сформулювати таким чином: якщо задано диференціальне рівняння порядку , то граничні умови, що містять по­хідні до порядку включно є головними, а граничні умови, що міс­тять похідні порядку та вище називаються природними граничними умовами.

Рис.5. Врахування граничних умов

Врахування головної граничної умови на лівому(правому) кінці по­лягає в тому, що перший(останній) стовпець глобальної матриці жорст­кості, який є стовпцем коефіцієнтів при відомому значенні, дом­но­жається на це значення і переноситься в праву частину системи, при­чо­му відкидається перша(остання) стрічка глобальної матриці жорсткості і перший (останній) елемент глобального вектора навантаження. Для цього (див. рис. 5) введено функцію модифікації глобального вектора навантаження

та функцію модифікації глобальної матриці жорсткості

.

Природня гранична умова на лівому(правому) кінці для рівняння (20) в загальному випадку має вигляд

, . (33)

Це означає, що, як наслідок інтегрування за частинами, у слабкій формі рівнянь Гальоркіна (24) з’явиться доданок , який з врахуванням умови (33) можна перетворити до вигляду . Тоді, якщо , то відповідне рівняння результуючої СЛАР (тобто перше рівняння, якщо природня умова (33) задана на лівому кінці при і останнє рівняння, якщо природня умова (33) задана на правому кінці при ) доповниться вільним членом , який потрібно просто врахувати у векторі навантаження :

,

.

Якщо , то з’являється додатково доданок , який містить невідому функцію , тобто це означає, що потрібно мо­ди­фіку­вати той елемент глобальної матриці жорсткості , який є коефіцієнтом при відповідному вузловому значення невідомої функції . Таким еле­ментом є перший (останній) елемент на головній діагоналі, якщо при­род­ня умова (33) задана на лівому(правому) кінці. Реалізацію цього випадку задання природної граничної умови в середовищі MATHCAD можна здійснити, визначивши аналогічні функції

,

.

Тоді для врахування однорідної природної граничної умови (21), як видно з рис. 5, залишається здійснити такі виклики наведених вище функцій

, .

Рис.6. Розв’язання СЛАР та оцінка точності наближеного розв’язку

2.4.6. Розв’язання слар та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку

Після врахування граничних умов результуюча СЛАР буде пов­ністю сформована і залишається знайти її розв’язок, наприклад викорис­то­вуючи вбудовану функцію MATHCAD lsolve. Якщо були задані го­ловні граничні умови, то, в силу вище описаного алгоритму їх вра­ху­ван­ня, потрібно ще також відповідним чином модифікувати вектор вузло­вих значень (див. функцію AddNodalValueOnLeftSide(a,g,U,N) на рис. 6.).

Оскільки для крайової задачі (20)-(21) при , , можна отримати точний розв’язок ( ), то тут же наведено його порівння з апроксимацією за МСЕ на сітці з чотирьох скінченних елементів.