2.2. Метод гальоркіна

На практиці можуть використовуватися різні системи вагових функцій , що породжує різні методи на основі зважених нев’язок. У методі Гальоркіна, який є найбільш популярним варіантом методу зважених нев’язок, за вагові функції вибираються самі базисні функції , тобто

. (8)

Підстановка (6) і (8) в систему рівнянь методу зважених нев’язок (7) приводить до системи рівнянь Гальоркіна

, , (9)

розв’язавши яку відносно невідомих коефіцієнтів , отримаємо сис­те­му лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

(10)

з коефіцієнтами , . Легко бачити, що матриця СЛАР (10) є симетричною, що забезпечує методу Гальоркіна суттєві обчислювальні переваги.

Визначивши коефіцієнти розкладу (3) з СЛАР (10), ми тим самим завершимо процес побудови апроксимації Гальоркіна розв’язку крайової задачі (1)-(2). Причому, нагадаємо, спосіб побудови забезпечує апріорі виконання граничних умов (2). Спробуємо тепер послабити цю вимогу, оскільки вона суттєво обмежує вибір можливих типів базисних функцій.

Отже, будемо тепер вважати, що розклад

, (11)

не задовільняє апріорі граничним умовам (2). Тоді до нев’язки в диференціальному рівнянні

в (12)

додається нев’язка в граничних умовах

на , (13)

а система рівнянь Гальоркіна набуде вигляду

, . (14)

Підставивши (12)-(13) в (14) і розв’язавши відносно невідомих коефіцієнтів , знову отримаємо СЛАР

(15)

з коефіцієнтами

, .

Розв’язок СЛАР (15) дає нам коефіцієнти розкладу (11), тобто апроксимацію Гальоркіна розв’язку крайової задачі (1)-(2), яка вже апріорі не задовільняє точно граничні умови (2).

Однак, у цьому випадку виникає інша проблема, яка полягає у тому, що в рівняння Гальоркіна (14) можуть входити інтеграли, що містять похідні від , вздовж границі . Такі інтеграли, особливо для криволінійних границь, обчислити дуже складно. Позбавитись заз­на­чених труднощей можна у такий спосіб. Повертаючись до рівняння Гальоркіна (14), необхідно зауважити, що в цьому рівнянні перший доданок

,

як правило, можна перетворити за допомогою правила інтегрування за частинами до виду

, (16)

де - деякі лінійні диференціальні оператори нижчого порядку ніж вихідний оператор . Тоді, для граничних умов певного типу, належно вибираючи базисну функцію можна добитися взаємного скорочення інтегралів вздовж границі, що містять та її похідні. Ці граничні умови називаються природніми, а отримане в результаті такого перетворення рівняння називається слабким формулюванням методу Гальоркіна або слабкою формою рівняння Гальоркіна. Інша перевага слабкої форми полягає в тому, що на базисні функ­ції накладаються слабші умови гладкості.

Очевидно, що в методі Гальоркіна ключовою проблемою є проб­ле­ма вибору системи базисних функцій. Причому вважається, що базисні функції визначені всюди в , що є найголовнішим недоліком, оскільки таким чином обмежується як геометрична форма області , так і сам вигляд базисних функцій. Цей недолік усувається в методі скінченних елементів.