Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Кафедра САП

Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів Методичні матеріали

до лабораторної роботи № 5 з курсу:

“Математичне моделювання в САПР”

для студентів базового напрямку

6.0804 “Комп’ютерні науки”

Затверджено

на засіданні кафедри

“Системи автоматизованого проектування”

Протокол №

від

Львів 2008

Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів. Мето­дич­ні матеріали до лабораторної роботи № 5 з курсу: “Математичне моде­­лю­вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю­тер­ні науки”.

Укладачі:

Макар В.М., доцент, к.т.н.

Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск:

Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП

Рецензенти:

1. Мета роботи

Ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальор­кіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати прак­тич­ні на­вики зас­то­сування методу до розв’язання одновимірних кра­йо­вих задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного ди­ферен­ціа­ль­ного рівняння другого порядку.

2. Основні теоретичні відомості

З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором ба­зис­них функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто від­мін­на від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області виз­на­чен­ня вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трак­ту­ва­ти як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та ва­гові функції співпадають. Тому для глибшого розуміння суті МСЕ коротко розглянемо спочатку основні ідеї цих методів

2.1. Метод зважених нев’язок

Розглянемо деяку крайову задачу в обмеженій області з гра­ни­цею , тобто за­дачу знаходження функції , яка задовільняє ди­фе­рен­ціаль­не рівнян­ня

в , (1)

та граничні умови

на . (2)

Тут – заданий диференціальний оператор, - заданий лінійний опе­ратор, – задана функція. Апроксимацію розв’язку крайової задачі (1)-(2) будемо шукати у вигляді розкладу за базисними функціями

, (3)

де - деякі коефіцієнти, які обчислюються таким чином, щоб отримати якомога краще наближення, а функція і базисні функції вибрані таким чином, що

на . (4)

Умови (4) означають, що функція задовільняє граничну умову (2), і, отже , а базисні функції на границі рівні нулю. Ба­зис­ні функції такого типу часто називаються функціями форми або проб­ними функціями. Такий спосіб вибору функції та базисних функцій автоматично забезпечує рівність на для . Це оз­начає, що для отримання наближеного розв’язку крайової задачі (1)-(2) за­ли­шається забезпечити, щоб задовільняла диференціальне рівняння (1).

Найбільш загальний спосіб визначення коефіцієнтів у розкладі (3) полягає у використанні поняття нев’язки (відхилення) і називається методом зважених нев’язок. У загальному випадку нев’язка виникає тоді, коли ми намагаємося апроксимувати (наблизити) деяку функцію в області іншою функцією , і визна­чає­ть­ся вона наступним чином:

. (5)

У нашому випадку нев’язка виникає при підстановці розкладу (3) в диференціальне рівняння (1), оскільки - апроксимація точного розв’язку крайової задачі (1)-(2). В силу лінійності оператора цю нев’язку можна записати у вигляді

. (6)

Очевидно, що нам потрібно зменшити певним чином цю нев’язку, тобто забезпечити, щоб всюди в . Для цього будемо вимагати рівності нулю відповідної кількості інтегралів по від нев’язки , взятих з різними вагами, тобто

, , (7)

де - система лінійно незалежних вагових функцій. У си­лу довільності вибору вагових функцій рівності (7) будуть вико­ну­ва­ти­ся тоді і лише тоді, коли при , а це і означатиме, що ап­рок­симація буде задовільняти диференціальне рівняння (1) як зав­год­­но точно. У цьому і полягає основна ідея методу зважених нев’язок. Рівності (7) утворюють систему рівнянь методу зважених нев’язок.

Отже, для того, щоб апроксимація була розв’язком рівняння (1) потрібно, щоб коефіцієнти визначалися з системи рівнянь методу зважених нев’язок (7).