2.4. Схема методу скінченних елементів розв’язання одновимірних крайових задач

Для конкретизації наведеної вище загальної процедури засто­сування МСЕ розглянемо одновимірний випадок. Побудуємо схему МСЕ розв’язання задачі Штурма-Ліувілля в області :

, (20)

, . (21)

2.4.1. Дискретизація області

Для побудови скінченно-елементної сітки поділимо область на відрізків (скінченних елементів) одинакової довжини , точками , , . За вузли СЕ вибиремо кінці відрізка, тобто точки . Отже, кожний СЕ є елементарним відрізком розміру і має два вузли (такий СЕ прийнято називати лінійним од­новимірним скінченним елементом), а сітка складається з таких еле­ментів, пронумерованих послідовно зліва направо, і -ого вузла, координати яких можна обчислити за формулою: , . Як правило, для програмної реалізації схем МСЕ цієї інфор­мації про скінченно-елементну сітку є недостатньо. Як мінімум потрібно задати ще так звану матрицю зв’язності, яка зв’язує номери вузлів та номери СЕ, до яких ці вузли належать. Структура такої матриці може бути такою: кількість стовпців рівна кількості СЕ, кількість рядків – кількості вузлів на одному СЕ, а значення елементів стовпців відпові­дають номерам вузлів, які відносяться до даного СЕ. На рис.1 зображено фрагмент документа MATHCAD, який містить реалізацію дискретизації області визначення крайової задачі (20)-(21).

Рис.1. Приклад побудови скінченно-елементної сітки в одновимірному випадку та підготовки інформаційних масивів

Звернемо увагу на двовимірний масив NT, який і відіграє роль матриці зв’язності (тут виведено цей масив для сітки з 4 елементів).

2.4.2. Слабке формулювання методу гальоркіна

Згідно методу Гальоркіна наближений розв’язок крайової за­да­чі (20)-(21) будемо шукати у вигляді розкладу

. (22)

Тут, і надалі, індекс означатиме, що наближений розв’язок шукається на сітці СЕ з кроком розбиття . Підстановка (22) в диференціальне рівняння (20) спричинить появу деякої нев’язки

,

на основі якої, за методом Гальоркіна, отримаємо таку систему рівнянь

, . (23)

У (23) під інтеграл входить друга похідна, тому базисні функції повинні бути - гладкими на , що є досить жорсткою вимогою. Тому спробуємо послабити цю умову гладкості. Для цього застосуємо правило інтегрування за частинами до першого доданку у рівнянні (23)

.

Врахувавши однорідні граничні умови (21) остаточно отримаємо

, . (24)

Рівняння (24) і є слабкою формою рівнянь Гальоркіна, оскільки вони містять під знаком інтеграла вже тільки першу похідну. Отже, тепер достатньо, щоб базисні функції належали класу гладкості на , тобто були просто кусково-неперервними на .

2.4.3. Побудова базисних функцій

Найпростішими базисними функціями МСЕ є кусково-лінійні одновимірні функції, які аналітично задаються співвідношенням

. (25)

Легко переконатися, що кусково-лінійні базисні функції (25) во­ло­діють властивістю (18), тобто значення кожної функція рівне одиниці ли­ше у вузлі і рівне нулю в усіх інших вузлах. Відповідно, кожна ба­зис­на функція відмінна від нуля лише на тих СЕ, які містять вузол , тобто на елементах з номерами та . Більше того, на цих елементах ба­зисна функція є лінійною. А, отже, базисні функції є -глад­ки­ми на відрізку .

Тоді глобальна апроксимація виду (22) стає кусково виз­на­че­ною, тобто на кожному -ому СЕ вона набуває вигляду

, . (26)

Приклад програмної реалізації одновимірних кусково-лінійних базисних функцій МСЕ в системі MATHCAD наведено на рис.2. Тут же зображено графіки деяких базисних функцій та їх похідних.

Рис.2. Одновимірні кусково-лінійні базисні функції МСЕ та їх графіки