2.3. Метод скінченних елементів

В основі МСЕ лежать дві фун­да­мен­тальні ідеї:

1. вихідна область розбивається на ряд підобластей або елементів , що не перетинаються;

2. базисні функції , що використовуються в процесі побудови апроксимації розв’язку крайової задачі (1)-(2) є кусково визначеними, тобто вони відмінні від нуля тільки на деяких елементах (про такі функції кажуть, що вони мають скінченний або фінітний носій, а самі функції так і називаються фінітні). Причому для різних елементів можуть використовуватися різні вирази для базисних функцій.

Як наслідок, сама апроксимація є також кусковою, тобто може бути визначена окремо на кожному елементі. Більше того, інтеграли в системі рівнянь Гальоркіна (14) можуть бути обчислені простим сумуванням їх вкладів за кожним скінченним елементом :

, , (17)

при умові, що

.

Тут - загальна кількість скінченних елементів (СЕ), на які розби­ваєть­ся вся область , - та частина границі елемента , що лежить на границі .

Очевидно, що СЕ повинні мати досить просту геометричну форму. Так, для одновимірного випадку СЕ – це відрізки, для 2D областей – трикутники або чотирикутники, а для 3D областей – тетраедри або паралепіпеди. З кожним елементом пов’язується набір точок, які називаються вузлами. У найпростішому випадку ці вузли розташовані у вершинах елемента, у складніших випадках вони можуть знаходитися всередині елемента (в одновимірному випадку) або на лініях (поверхнях) спряження суміжних елементів. Вузли та елементи нумеруються, причому спосіб нумерації впливає на структруру матриці результуючої СЛАР і, відповідно, на обчислювальні характеристики.

Тоді апроксимація розв’язку крайової задачі (1)-(2) може бути записана у стандартній формі (11), якщо кожна базисна функція асо­цію­ється з одним вузлом , причому сама базисна функція будується таким чином, щоб її значення було рівне одиниці лише у вузлі та нулю у всіх інших вузлах, тобто

. (18)

У силу цієї властивості коефіцієнти у розкладі (11) набувають цілком конкретного фізичного змісту: вони рівні значенню апроксимації у вузлах, тобто , де - значення у вузлі . Крім того, властивість (18) означає також, що базисна функція відмінна від нуля лише на тих СЕ, які містять вузол . Це в свою чергу і означає, що ап­рок­симація кусково визначена, тобто на кожному СЕ може бути виражена за допомогою лише тих базисних функцій , вузли яких нале­жать цьому елементу. Так, наприклад, в одновимірному випадку на кож­ному елементі з вузлами глобальна апроксимація виду (11) може бути виражена за допомогою лише двох базисних функцій елемен­та та вузлових значень так:

. (19)

Отже, кускова визначеність апроксимації є наслідком кускової визначеності базисних функцій . Але, з іншого боку, кускова виз­на­че­ність базисних функцій означає, що похідні від них будуть мати роз­ри­ви. Тоді цілком логічно виникає питання, а наскільки допустимо вико­ристовувати такі функції в системі рівнянь Гальоркіна (14), які містять похідні від них під знаком інтегралу? З математичної точки зору, це означає, що потрібно встановити так звані умови гладкості на базисні функції, виконання яких гарантуватиме, що під інтегралами системи рів­нянь Гальоркіна (14) не будуть виникати різного роду невизначенос­ті. Ці умови гладкості визначаються порядком похідних від базисних функ­цій. Тут доречно нагадати, що цей порядок похідних можна знизити використовуючи слабку форму рівнянь Гальоркіна. Самі умови глад­кос­ті математично виражаються таким чином: якщо рівняння (14) містять похідні порядку , то базисні функції повинні належати класу гладкості , тобто мати кусково-неперервно диференційовані похідні до по­ряд­ку включно.

Властивість (18) означає, також, що якщо базисні функції будувати у вигляді поліномів певного степеня, то апроксимація виг­ляду (11) являє собою інтерполяційний поліном розв’язку крайової задачі (1)-(2). Однозначність визначення полінома на кожному СЕ забезпечується тим, що у заданих вузлах у ролі невідомих параметрів фіксуються значення полінома або значення полінома і деяких його похідних. Необхідна гладкість апроксимації у всій області забез­пе­чує­ться тим, що значення відповідних параметрів у спільних вузлах су­між­них елеметів співпадають. Поліноміальний вигляд базисних функцій забезпечує МСЕ високу ефективність та простоту обчислень, а також дозволяє отримати апріорні оцінки похибки апроксимації. Більше того, математичні дослі­джен­ня МСЕ показали, що кусково-поліноміальні базисні функції за умови достатньої гладкості шуканого розв’язку забезпечують побудову наближеного розв’язку майже довільної точності, якщо ввести достатню кількість скінченних елементів або при заданому розбитті використати поліноми вищого порядку.

Підсумовуючи, можна виділити такі етапи розв’язання крайових задач за допомогою МСЕ:

1. дискретизація області визначення задачі, яка включає задання кількості, розмірів та геометричної форми СЕ;

2. побудова апроксимації невідомого розв’язку шляхом розкладу за базисними функціями та отримання слабкої форми системи рів­нянь Гальоркіна;

3. побудова фінітних базисних функцій у вигляді кусково виз­на­че­них поліномів певного порядку, який визначається потрібними умовами гладкості розв’язку;

4. підстановка базисних функцій у слабку форму і отримання результуючої СЛАР шляхом побудови локальних матриць на кожному елементі та їх асемблювання у глобальні матриці СЛАР;

5. врахування граничних умов;

6. розв’язання СЛАР та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку.