Вопрос 2. Прямые методы оптимизации: общая характеристика и примеры пассивных и последовательных стратегий поиска.

???????????????????????????????????????????????????

Билет № 17

1. Прямые методы оптимизации: метод Кифера и использование “золотого сечения”. Формулы для интервала неопределённости.

Метод золотого сечения.

Метод основан на делении текущего отрезка [а, b], где содержится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения, для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

Золотое сечение определяется по правилу: отношение отрезка к большей его части равно отношению большей части отрезка к меньшей. Ему удовлетворяют две точки с и d, расположенные симметрично относительно середины отрезка.

Рис. 3.3. Иллюстрация метода золотого сечения:

1 — интер­вал, включающий в себя иско­мый максимум функции после

первого этапа (первого золото­го сечения в точках c и d);

2 — то же, после второго этапа (но­вая точка е и старая точка d

Путем сравнения R(с) и R(d) определяют следующий отрезок, где содержится максимум. Если R(d) > R(с), то в качестве сле­дующего отрезка выбирается отрезок [с, b], в противном слу­чае — отрезок [a, d].

Поэтому на каждой следующей итерации (кроме "запуска" метода на исходном отрезке) нужно вычислять только одно зна­чение критерия оптимальности.

Новый отрезок снова делится на неравные части по правилу золотого сечения. Следует отметить, что точка d является и точ­кой золотого сечения отрезка [с, b], т.е.

Обозначим коэффициент золотого сечения k=db/cd, тогда можно получить квадратное уравнение для его нахождения

k=0,618 Решение уравнения применительно к первой итерации имеет вид

Условие окончания поис­ка — величина отрезка, содер­жащего максимум, меньше за­данной погрешности.

Метод обеспечивает более быструю сходимость к реше­нию, чем многие другие ме­тоды, и применим, очевидно, только для одноэкстремальных функций (в практических задачах под одноэкстремальной функцией понимают функцию, содержащую один экстремум того типа, который ищется в задаче).

На рис. 3.4 приведены два этапа поиска максимума функ­ции методом золотого сече­ния.

Дана функция

R(x)=sin(x+1),

Найти макси­мум на интервале: [-1,2]. Ошибка задается по х:  =0,05.

Результаты расчетов. Для "запуска" метода найдем две симметричные точки золотого сечения для отрезка [-1, 2]:

х₁ = 0,145898, х₂ = 0,85410197.

Значения критериев в этих точках соответственно R(x₁) = 0,911080, R(x₂) = 0,960136. Следовательно, новым отрезком является [0,145898,2], внутри которого находится максимальное из найденных значений R. Точка золотого сечения для нового отрезка будет х₃ = 0,58359214, a R(x₃) = 0,99991813. Далее приведены только координаты лучших точек при очередном шаге, номер шага и значения критерия в этих точках.

x₃ = 0,584 R₃ = 0,9999 x₄ = 0,584 R₄ = 0,9999

Билет 18. Вопрос 1. Прямые методы оптимизации: методы однородных пар и дихотомии, формулы для интервала неопределённости.

6.3.2. Минимаксные стратегии одномерного поиска

Стратегии поиска, использующие минимаксные оценки интервала неопределенности, называются минимаксными или, с учетом величины ε, - ε-минимаксными стратегиями. Если исследователь располагает четным числом п-2р точек (экспе­риментов), то наилучшее размещение соответствует разделению точек на пары, расположенные около равноотстоящих друг от друга центров. При этом в каждой паре точки отстоят друг от друга на ε (подразумевается, что расстояние между парами су­щественно больше ε), но необязательно симметричны относи­тельно своего центра (см. рис. 6.14). Величина интервала неоп­ределенности после п экспериментов определяется выражением

Р ассмотренная стратегия относится к пассивным методам поиска. Легко убедиться, что попытка сдвинуть любую из зафик­сированных на рис. 6.15 точек приводит лишь к увеличению ми­нимаксной оценки L_n. Этот метод получил название метода опти­мизации однородными парами. Из (6.81) следует, что при доста­точно малой величине s для сокращения интервала Х_о, например в 100 раз, необходимо исследовать 198 точек этого интервала.

При нечетном числе исследуемых точек п = 2р + 1 суще­ствует множество равноценных минимаксных стратегий. Одна из них предусматривает равномерное расположение точек на интервале L₀ (рис. 6.15, б). Интервал неопределенности при этом определяется формулой

Э ффективность поиска может быть существенно увеличе­на, если при выборе очередной точки использовать информа­цию, полученную при исследовании предыдущих точек, т.е. при переходе к последовательным стратегиям.

Пусть первая пара точек при отсутствии предварительной информации выбрана в соответствии с рассмотренной выше ε-минимаксной стратегией (рис. 6.16). После исследования этих точек из дальнейшего рассмотрения в силу унимодальности функции W может быть исключена почти половина интервала L₀ (см. рис. 6.16). Для полученного интервала неопределенности L₂ может быть спланирована новая оптимально расположенная па­ра точек, в результате исследования которых будет получен ин­тервал неопределенности L₄:

Д альнейшая последовательность действий ясна из рис. 6.16. после проведения п = 2р экспериментов интервал неопределен­ности составит

Рассмотренный метод получил название метода дихотомии (деления пополам).