Вопрос 2. Моделирование на макроуровне и микроуровне: общая характеристика математических моделей и виды задач, решаемых на каждом уровне.

Модели микроуровня Микроуровень — это нижний иерархический уровень декомпозиции объектов проектирования по степени абстрагирова­ния при составлении математического описания. На этом уровне осуществляется детальное описание физических свойств техни­ческого объекта. Объекты рассматриваются как сплошные сре­ды, имеющие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве. Такие объекты представляют собой динамические системы с распределенными параметрами. Их также называют непрерывными системами. Функционирование таких систем описывается дифференциаль­ными уравнениями в частных производных.

Исследуемые объекты - отдельные детали машин и механизмов, у которых принимаются в расчет все геометрические размеры и другие существенные параметры, например, теплофизические свойства и структура материала.

Общий вид математической модели, описывающей физические свойства технического объекта с распределенными па­раметрами, может быть представлен в виде системы п незави­симых уравнений:

Н езависимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты x_i = 1, 2... п и время t. Фазовая координата φ - функция независимых переменных.

Модели макроуровня Общая характеристика моделей, их структура и сущность

Объекты проектирования на макроуровне рассматриваются как сложные системы, состоящие из совокупности взаимо­действующих элементов. На макроуровне объект имеет слож­ную неоднородную структуру, состоящую из элементов - объ­ектов проектирования микроуровня, которые в дальнейшем рас­сматриваются в виде неделимой единицы.

Задача проектирования таких систем состоит в определении параметров рабочих процессов и структуры исходя из за­данного описания внешней среды и предъявляемых технических требований.

М атематической моделью объектов на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений:

где t - независимая переменная# время; V - вектор фазовых координат, который требуется определить в процессе решения задачи.

Билет 3. Вопрос 1. Моделирование на макроуровне: фазовые переменные, компонентные и топологические уравнения. Пределы применимости топологических уравнений.

В основе математической модели макроуровня лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами. Рассмотрим эти уравнения.

Компонентные уравнения.

Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа потенциала. Физическое свойство элемента (закон его функциони­рования) описывается математической моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными. Это выраже­ние называют компонентным уравнением.

Основные физические свойства технических объектов любой физической природы - инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответст­венно инерционными, упругими и диссипативными элементами.

К омпонентные уравнения дискретных элементов могут быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или не­посредственным использованием физических законов.

Аппроксимация моделей микроуровня осуществляется путем замены всех частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных разностей с выделением сосредоточенных масс в узлах дискретиза­ции сплошной среды и усреднением значений параметров полу­чаемых элементов [20].

Будем рассматривать компонентные уравнения, полученные на основе физических законов, которые имеют следующий вид:

В уравнениях (2.16) - (2.18) приняты следующие обозначения: И, Д, У - параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I — фазовая переменная хина потока; U— фазовая переменная типа потенциала. Индексы при фазовых переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам; t - время.