Тема 4 Апроксимація функції, що задана таблично

4.1. Метод найменших квадратів

Нехай емпірична формула має вигляд , де , , …, ─ невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів , за яких крива якомога ближче проходитиме до всіх точок , , …, , знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівнянню. Відхилення від підстановки координат у рівняння дорівнюватимуть величинам . За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів ті, для яких сума квадратів відхилень .

Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Найпростіші необхідні умови залежностей подано в таблиці.

№ пор.	Емпірична формула			Спосіб вирівнювання
1
2				, де , , ,
3				, де , ,
4				, де
5				, де
6				, де
7				, де ,

Умови перевіряють наступним чином. На заданому відрізку вибирають дві точки, розміщені якомога далі одна від одної, наприклад, , . Потім, залежно від типу залежності, що перевіряється, обчислюють значення і . Далі, користуючись даною таблицею значень , для значення знаходять відповідне йому значення . Якщо немає в таблиці, то знаходять наближено з графіка або за допомогою лінійної інтерполяції , де і ─ проміжні значення, між якими лежить . Обчисливши , знаходять величину . Якщо ця величина велика, то відповідна емпірична формула не придатна для апроксимації заданих даних. З кількох придатних формул перевагу надають тій, для якої відхилення якомога менше.

Вхідні дані повинні бути впорядковані за зростанням аргументу.

Mathcad.

Для знаходження коефіцієнтів наближення за методом найменших квадратів у категорії «Апроксимація та згладжування кривої» передбачені наступні функції:

Ім’я	Функція наближення	Аргументи	Результат
expfit(x,y[,vg])		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції vg – необов’язковий вектор наближених значень коефіцієнтів	,
lgsfit(x,y,vg)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції vg – вектор наближених значень коефіцієнтів	,
line(x,y)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції
lnfit(x,y)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції
logfit(x,y,vg)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції vg – вектор наближених значень коефіцієнтів	,
pwfit(x,y,vg)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції vg – вектор наближених значень коефіцієнтів	,
regress(x,y,n)
sinfit(x,y,vg)		х – вхідні значення аргументу у – вхідні значення функції vg – вектор наближених значень коефіцієнтів	,

Для побудови наближення поліномом застосовується функція: , де х – вхідні значення аргументу, у – вхідні значення функції, n – степінь поліному.

Для обчислення значень поліному. Заданого своїми коефіцієнтами використовується функція: , де – ім’я поліному, – значення аргументу.