Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию Хевисайда
Имеется широкий диапазон проблем, описываемых дифференциальными yравнениями, в правой части которых присутствует функция Хевисайда. Например, уравнения динамики систем, которые подвержены воздействию сил не непрерывно, а только в некоторые моменты времени.
Применяя объяснения предыдущего пункта, можно эти дифференциальные yравнения записать в изображениях.
Пример 132. Решить дифференциальное yравнение
,
удовлетворяющее условиям .
Решение. Перейдем к уравнению в изображениях.
.
Найдем
Имеем
Окончательно
Замечание. Правая часть исходного дифференциального yравнения является разрывной функцией, которую в обычном классическом анализе записывают в виде нескольких аналитических выражений. Операционный метод решения таких уравнений позволяет записать правую часть в виде одного выражения.
Решить дифференциальные уравнения:
,
,
ответ:
ответ:
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
Существуют несколько типов дифференциальных уравнений, когда аргументами функций являются как просто t, так и более сложные выражения.
— это дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом.
Если
,
то имеем дифференциально-разностные
уравнения. Наконец, имеется дифференциальное
уравнение с запаздывающим аргументом
(описывающее процессы с последствием),
когда аргумент старшей производной t,
а аргумент других функций —
.
, (41)
где
,
,
.
Ради простоты начальные условия выберем нулевые:
(42)
Считаем, что все
функции являются оригиналами и
,
.
Тогда
(43)
. (44)
Пример 135.
Решить дифференциальное уравнение
,
.
Решение. Перейдем к изображениям
Решить следующие уравнения.
,
,
ответ:
,
,
ответ:
.
,
,
ответ:
.
,
,
ответ:
.
Решение интегральных уравнений
Пример 140.
Решить интегральное уравнение:
Решение. Переходим к изображениям, используя формулу интегрирования оригинала (24) пункта 5.1
Имеем:
,
.
Далее будем рассматривать интегральные уравнения Вольтерра с ядрами специального вида:
(45)
— ядро интегрального
уравнения.
Пусть
,
,
.
Применим к обеим частям (45) преобразование
Лапласа и, пользуясь формулой свертки
(17) пункта 5.6, получим
,
Пример 141.
Решить интегральное уравнение:
.
Решение. Левая
часть является сверткой функций
и
.
Переходя к
изображениям, получим:
,
.
Пример 142. Решить интегральное уравнение:
.
Решение. Получим
уравнение в изображениях
,
Решить следующие интегральные уравнения:
ответ:
.
ответ:
.
,
ответ:
.
Аналогично, но несколько проще, решаются интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода:
(46)
В этом случае
и
.
Пример 146. Решить
интегральное уравнение
Решение. В
изображениях:
,
тогда
Решить интегральные уравнения:
, ответ:
.
, ответ:
ответ:
.
, ответ:
.
Указанный метод применим к системе интегральных уравнений Вольтерра вида:
. (47)
В изображениях
(48)
получается система
линейных уравнений относительно
.
Пример 151. Решить систему интегральных уравнений:
Решение. В изображениях
,
.
Разлагая на простейшие дроби, найдем оригиналы
Решить систему интегральных уравнений
ответ:
Решить систему интегральных уравнений
ответ:
