7.3 Приклади розв’язання зуз

Задача 1. Визначити об'єми поставок у кожному з періодів, щоб повністю задовольнити попит кожного періоду і мінімізувати сумарні витрати на поставку і зберігання продукції в наступній ЗУЗ: кількість періодів планування: n = 6; рівні запасів: і ; попит у періодах: d₁ =15; d₂ = 8; d₃ = 20; d₄ = 11; d₅ =8; d₆ = 15; витрати на зберігання: h_k = 5; ; витрати на доставку (виробництво) продукції: A₁= A₂ =…=A₆=50.

Планування кроку 1.

На цьому етапі ми визначаємо мінімальні витрати для першого періоду за умови, що на його кінець запаси повинні бути рівними нулю. Оскільки , то ми обов'язково повинні виконати поставку необхідної в першому періоді кількості одиниць продукції (d₁). При цьому , витрати на поставку продукції рівні A₁, а тому що нічого “зайвого” не зберігаємо, то витрати на зберігання продукції рівні 0. Таблиця заповнюється в такий спосіб:

Крок k	Можливі розв’язки (номер періоду останньої поставки): j	Вартість розв’язку: { } (вартість зберігання)	Умовно оптимальний розв’язок
1	1	m in f0(0) + A1 +0= 0+ 50+0 =50	1	50

Планування кроку 2.

На цьому етапі ми визначаємо мінімальні витрати для перших двох періодів за умови, що на кінець другого запаси повинні бути рівні нулю. У цьому випадку можливі два варіанти розв’язку:

- поставка продукції для двох періодів здійснюється на початку першого періоду (тобто остання поставка здійснюється в першому періоді);

- поставки здійснюються таким чином: у першому - для першого, у другому - для другого (тобто остання поставка здійснюється у другому періоді).

У першому випадку сумарні витрати складаються з витрат на поставку необхідної продукції для перших двох періодів (A₁) і витрат на зберігання в першому періоді, продукції, споживаної в другому періоді (h₁·d₂).

Якщо період останньої поставки – другий, то сумарні витрати складаються з витрат за перший період (f₁(0)) і витрат на поставку продукції в другому періоді (A₂) (витрати на зберігання дорівнюють нулю).

Крок k	Номер періоду останньої поставки): j	{ }
2	1 2	f0(0) + A1 +h1·d2 =0+50+40=90 min f1(0) + A2+ 0 =50+50+0=100	1	90

Як бачимо, f₂(0) досягає мінімуму у випадку, коли поставка продукції для двох періодів здійснюється на початку першого періоду (відповідна поставка окреслена). Аналогічно робимо на кроках 3-6. Повний процес розв’язання задачі наведений у табл. 9 (при цьому, оператор взяття мінімуму на кожній ітерації опускаємо).

Таблиця 9

Крок k	Можливі розв’язки (номер періоду останньої поставки): j	Вартість розв’язку: (вартість зберігання)	Умовно оптимальний розв’язок
1	1	f 0(0) + A1 +0= 0+ 50 +0 =50	1	50
2	1	f 0(0) + A1 +h1·d2 =0+50+40=90	1	9 0
	2	f1(0) +A2 + 0 =50+50+0=100
3	1	f 0(0) +A1+h1(d2+d3)+h2·d3=0+50+5·28+5·20=290	3	1 40
	2	f1(0) +A2+ h2· d3 =50+50+100=200
	3	f2(0) + A 3+0 =90+50=140
4	3	f2(0) + A3 + h3·d4=90+50+55=195	4	190
	4	f 3(0) + A4 + 0 =140+50=190
5	4	f3(0) + A4+h4·d5=140+50+40=230	4	2 30
	5	f4(0) +A5+ 0 =190+50=240
	4	f3(0) +A4+h4(d5+d6)+h5·d6=140+50+115+75=380
6	5	f4(0) +A5+ h5·d6 =190+50+75=315
	6	f 5(0) + A6+ 0 =230+50=280	6	2 80

Порядок формування відповіді показаний стрілками. Отже, поставки повинні здійснюватися в першому, третьому, четвертому і шостому періодах. Виконаємо перевірку. Для цього випишемо кінцевий вираз для f₆(0):

f₆(0) = f₅(0) + A₆+ 0 = (f₃(0) + A₄+h₄·d₅)+ A₆+ 0 =

= ((f₂(0) + A ₃+0)+ A₄+h₄·d₅)+ A₆+ 0 =

= (((f₀(0) + A₁ +h₁·d₂)+ A ₃+0)+ A₄+h₄·d₅)+ A₆+ 0 =

= 0 + 50 + 5·8 + 50 + 0 +50 + 0 + 5·8 + 50 + 0 = 280.

Відповідь: Мінімальні витрати становлять: = 280 (од. вартості). Об'єми поставок:

= =15+8=23; = 0;

= =20; = =11+8=19;

=0; = =15.

Задача 2. Визначити об'єми поставок у кожному з періодів, щоб повністю задовольнити попит кожного періоду й мінімізувати сумарні витрати на поставку й зберігання продукції: кількість періодів планування: n = 6; рівні запасів: і ; попит у періодах: d₁ =10; d₂ = 100; d₃ = 60; d₄ = 30; d₅ =115; d₆ = 70; витрати на зберігання : h₁ = 2, h₂ = 3, h_k = 1; ; витрати на доставку (виробництво) продукції: A₁= A₂ = A₄= A₆ =150, A₃ =200, A₅ =250.

Процес розв’язку задачі наведений у табл. 10

Таблиця 10

Крок k	Можливі розв’язки (номер періоду останньої поставки): j	Вартість розв’язки: (вартість зберігання)	Умовно оптимальний розв’язок
1	1	f 0(0) + A1 +0= 0+ 150 + 0 =150	1	1 50
2	1	f 0(0) + A1 +h1·d2 =0+150+200=350	2	3 00
	2	f 1(0) + A2 +0 =150+150+0=300
3	2	f1(0) + A2 +h2·d3 =150+150+180=480	2	480
	3	f2(0) +A3 +0=300+200 + 0 =500
4	2	f1(0) + A2+h2(d3+d4)+ h3·d4=150+150+270+30=600
	3	f 2(0) + A3+h3·d4=300+200+30=530	3	5 30
	4	f3(0) +A4+0=480+150 + 0 =630
5	3	f2(0) + A3 +h3(d4+d5)+h4·d5 =760
	4	f3(0) + A4 +h4·d5 =480+150+115=745	4	745
	5	f4(0) + A5 + 0 =530+250 + 0 =780
6	4	f3(0) + A4 +h4·(d5+ d6)+ h5·d6=480+150+185+70=885
	5	f 4(0) + A5 +h5·d6=530+250+70=850	5	8 50
	6	f5(0) + A6 + 0 =745+150 + 0 =895

Отже, поставки мають здійснюватися в першому, другому, третьому й п'ятому періодах. (Порядок формування відповіді показаний стрілками).

!

Хоча при знаходженні (мінімальних витрат за умови, що маємо всього п'ять періодів і на кінець п'ятого запаси мають бути нульовими) оптимальна стратегія така, що продукція, споживана в п'ятому періоді, повинна поставлятися в четвертому періоді, в остаточному (оптимальному) розв’язку продукція, споживана в п'ятому періоді, повинна поставлятися в цьому ж п'ятому періоді. Аналогічно, хоча мінімум досягається за умови, що продукція, споживана в третьому періоді, поставляється в другому, в остаточному розв’язку продукція, споживана в третьому періоді, повинна поставлятися в цьому ж третьому періоді.

Випишемо кінцевий вираз для f₆(0):

f₆(0) = f₄(0) + A₅ + h₅·d₆ =

= (f₂(0) + A₃ + h₃·d₄)+ A₅ + h₅·d₆ =

=((f₁(0) + A₂ +0) + A₃+h₃·d₄)+ A₅ + h₅·d₆ =

=(((f₀(0) + A₁ + 0)+ A₂ +0) + A₃+h₃·d₄)+ A₅ + h₅·d₆=

= 0+150+0+150+0+200+1·30+250+1·70=850.

Відповідь: Мінімальні витрати становлять: = 850 (од. вартості). Об'єми поставок:

= =10; = =100;

= =90; =0;

= =185; =0.