1.1 Геометрична інтерпретація задач дп

Припустимо, що стан системи характеризується деякою точкою в просторі . Ця точка, завдяки управлінню її рухом, переміститься вздовж деякої траєкторії з області допустимих початкових станів в область допустимих кінцевих станів (рис. 1)

Рис. 1

Кожній траєкторії руху точки поставлено у відповідність значення деякої функції . Завдання полягає в знаходженні такої допустимої траєкторії , при якій досягається екстремальне значення функції .

Така геометрична інтерпретація природна для деяких задач. До них відносяться задачі:

• визначення шляху прокладення дороги (трубопроводу);

• знаходження маршруту переїзду з одного району в іншій;

• визначення траєкторії набору висоти літальним апаратом (у цьому випадку стан системи характеризується деякою точкою в просторі ).

У загальному випадку допустимі стани системи визначаються точками мірного простору .

Знаходження розв’язку конкретної задачі методами динамічного програмування включає кілька етапів або кроків, на кожному з яких розв’язується відносно невелика (і, отже, менш складна) підзадача вихідної задачі. Тому термін “динамічне програмування” не стільки визначає певний тип задач, скільки характеризує методи знаходження розв’язку окремих класів задач математичного програмування.

1.2 Приклад багатоетапної операції

Керівництво концерну, що складається з k підприємств, складає план інвестицій на n років. На початку цього періоду концерн має у своєму розпорядженні суму в розмірі K од. вартості. Ці кошти на початку першого господарського року розподіляються між підприємствами (витрачаються на закупівлю сировини і (або) на оновлення устаткування). Надалі між підприємствами розподіляється отриманий ними за минулий рік прибуток [1].

Нехай на початку i-го року j-е підприємство одержує у своє розпорядження од. вартості. Завдання полягає у визначенні таких значень (тобто в знаходженні таких розподілів виділених коштів і одержуваного прибутку між підприємствами), при яких за n років забезпечується одержання максимального сумарного прибутку.

Сформулюємо поставлену задачу в термінах загальної задачі ДП. Під реалізацією управління мається на увазі наступне: на i-й рік j-му підприємству виділяються кошти у розмірі од. вартості. Сукупність чисел , , ... , при фіксованому i визначає точку в k-вимірному просторі. А сукупність чисел , визначає всю сукупність управлінь на кроках розподілу коштів як точок в k-вимірному просторі.

Критерієм оцінки якості обраного розподілу коштів (тобто реалізованих управлінь) узято сумарний прибуток за років, що залежить від усієї сукупності управлінь: . Отже, завдання полягає у виборі таких управлінь, при якому функція набуває максимального значення.