7 Задача управліНня запасами
Задача управління запасами (ЗУЗ) – одна з найпоширеніших на практиці задач. Правильне визначення стратегії управління запасами дозволяє вивільнити значні оборотні кошти, заморожені у вигляді запасів, що в остаточному підсумку підвищує ефективність використання ресурсів. Елементами системи (задачі) управління запасами є :
Кількість періодів. Може бути:
скінченним;
нескінченним.
Попит на предмети постачання. Розрізняють попит:
детермінований;
випадковий;
стаціонарний.
Спосіб поповнення запасів:
миттєва поставка;
затримка поставок на фіксований інтервал часу;
затримка поставок на випадковий інтервал часу.
Спосіб споживання запасів:
миттєве споживання;
споживання, розтягнуте в часі.
Функції витрат – у сукупності вони визначають критерій ефективності прийнятої стратегії управління запасами. Вони можуть враховувати:
витрати на зберігання,
вартість поставок,
витрати, пов'язані із замовленням кожної нової партії,
витрати на штрафи. пов'язані з відсутністю (недостачею) необхідної продукції й т.п.
Обмеження на:
максимальний об'єм (вага) запасів;
максимальний об'єм (вага) поставок;
максимальна вартість запасів;
кількість поставок у заданому періоді;
імовірність недостачі продукції.
7.1 Постановка задачі
Розглянемо задачу зі скінченною кількістю періодів, нестаціонарним детермінованим попитом, миттєвою поставкою і миттєвим споживанням.
Змістовна постановка задачі
Нехай маємо систему постачання підприємства, що планує поставки продукції протягом періодів. Об'єм споживання (сумарний попит підприємства на продукцію) у кожному періоді відомий. Для кожного періоду відомі також витрати на поставку (виготовлення) і витрати на зберігання продукції. Необхідно визначити об'єми поставок продукції в кожному з періодів, щоб
1) повністю задовольнити попит кожного періоду;
2) мінімізувати витрати на поставку і зберігання продукції.
Математична постановка задачі
Введемо позначення:
-
сумарний попит в k-му
періоді;
-
об'єм поставки в
-му
періоді (або запас, що створюється в
k-ому
періоді).
-
залишок запасу, що залишився з (
)-го періоду (залишок продукції на початок
періоду
);
-
витрати на виконання поставки величиною
.
Припускаємо, що поставка і споживання продукції здійснюються миттєво на початку періоду, але поставка трохи раніше (рис. 23).
Рис. 23.
Виходячи
з визначення величин
,
і
випливає справедливість такого
співвідношення:
+
–
=
,
де - надлишковий запас, що зберігається в -ому періоді.
Позначимо:
(
+
-
)=
(
) – витрати на зберігання надлишкового
запасу в
-му
періоді;
(
,
)
- загальні витрати в
-му
періоді.
Сумарні витрати на постачання за періодів
(11)
Припустимо,
що величини
й
задані. Тоді задача формулюється таким
чином: відшукати послідовності {
} і {
}, що мінімізують функцію сумарних витрат
(11) за умови задоволення попиту на
продукцію у всіх періодах
(12)
і виконання умов (що поєднують змінні сусідніх періодів):
. (13)
Відзначимо,
що якщо відомі величини {
}, то за ними можна визначити величини
{
} і навпаки.
Розглянемо окремий випадок ЗУЗ, що значно спрощує схему обчислення:
1.
Покладаємо, що всі функції
опуклі вверх по
.
2.
Будемо вважати функції
(
) лінійними. Тоді
( + – )= ( )= ,
де – додатня константа.
3.
Із пп. 1 і 2 випливає, що функції
(
) також є опуклими вверх по
.
4.
Вважаємо, що величина запасів на початок
першого періоду
=0
і запас на кінець останнього періоду
=0.
З урахуванням прийнятих спрощень задача (11)-(13) може бути переписана в наступному вигляді:
(14)
при обмеженнях
. (15)
. (16)
Перейдемо до розв’язання задачі. Для цього визначимо елементи динамічної моделі.