5 Задача про використання робочої сили

5.1 Постановка задачі

Підприємцеві потрібно визначити число працівників у кожному з наступних періодів. Виробничі завдання для кожного періоду відомі. Відповідно до цих завдань для -го періоду ( ) визначена ідеальна кількість робітників (рис. 19).

m₁ m₂ m_n

Рис. 19

Якби підприємець міг звільняти та наймати нових робітників без додаткових витрат, то він міг би в -ий період найняти рівно робітників (у цьому випадку не було б задачі). Однак, найм чи звільнення, а також простої й понаднормова робота робітників пов'язані з накладними витратами, величина яких у розрахунку на одного робітника відома.

Нехай - фактичне число робітників в - ий період. Витрати по зміні чисельності робітників при переході від ( )-гo періоду до -го визначаються функцією , де - число робітників в ( )-му періоді. Функція в залежності від знака аргументу визначає витрати по найму або звільненню:

Очевидно, що , .

Відхилення чисельності робітників в - й період від приводить до витрат . Залежно від знака аргументу функція визначає витрати пов'язані із простоями або з понаднормовими роботами:

Очевидно, що , .

Вважаємо, що в початковий момент кількість робітників становить . У цьому випадку говорять, що маємо задачу з фіксованим початком.

Визначити, яку кількість робітників потрібно мати в штаті в кожному з періодів, щоб сумарні витрати на зміну чисельності (найм - звільнення) і витрати, пов'язані з відхиленням від ідеального складу (оплата простоїв і понаднормових робіт) була мінімальна. Таким чином, цільова функція задачі визначається співвідношенням:

де .

Отримана задача називається задачею про використання робочої сили (ЗВРС).

Можна показати, що в оптимальному розв’язку змінні ( ) набувають значень з інтервалу [ , ].

У деяких випадках задається також величина , тоді змінні ( ) приймають значення з інтервалу [ , ].

Відзначимо також наступне: виходячи зі змістовної постановки задачі, змінна не може приймати нульове значення, якщо відповідна величина .

5.2 Теоретичне обґрунтування алгоритму зворотньої прогонки для розв’язку задачі про найм робочої сили

Оскільки маємо задачу з фіксованим початком, то рекомендується застосовувати алгоритм зворотньої прогонки.

Нехай - мінімальні витрати за періоди від -го до -го включно, при кількості робітників на початок -го періоду (в ( )-му періоді) людей (рис. 20). І нехай в -му періоді підприємець вирішує мати в штаті робітників.

n

Етапи:

1

2

….

j-1

j

….

g_j

s

q_j

x₁

x₂

….….

…….

x_j-1

x_j

x_n

Рис. 20

Тоді вартість поточного кроку складе:

а величина

(7)

є мінімальними витратами за періоди від -го до -го включно, за умови, що на початок -го періоду було людей, а в -му періоді задіяно робітників. Вираз (7) – умовно мінімальні витрати для стану при кількості робітників в -му періоді.

Мінімізуємо (7) по всіх можливих значеннях , отримаємо:

(8)

Вираз (8) справедливий, якщо прийняти, що