ЗМІСТ

1.1 Геометрична інтерпретація задач ДП 4

1.2 Приклад багатоетапної операції 5

2.1 Загальна схема алгоритму динамічного планування n-крокової операції 7

3 Задача про найкоротший шлях 8

3.1 Схема алгоритму зворотньої прогонки (АЗП) по дугах, що виходять 11

3.2 Приклад застосування алгоритму АЗП по дугах, що виходять 11

3.3 Завдання для самостійної роботи 14

3.4 Схема алгоритму прямої прогонки (АПП) по дугах, що входять 16

3.5 Приклад застосування алгоритму АПП по дуга, що входять х 16

3.6. Завдання для самостійної роботи 18

3.7 Схема алгоритму зворотної прогонки (АЗП) по дугах, що входять 19

3.8 Відмінності алгоритмів прямої і зворотної прогонок 20

3.9 Контрольні завдання 21

4.1 Змістовна інтерпретація задачі про оптимальне використання ресурсу 24

4.2 Побудова рекурентного співвідношення задачі 4.1.1 24

4.3 Побудова рекурентного співвідношення задачі 4.1.2 25

4.4 Схема АПП для ЗОВК 26

4.5 Приклад розв’язання ЗОВК 26

4.6 Завдання для самостійної роботи 30

4.7 Контрольні завдання 31

5.1 Постановка задачі 35

5.2 Теоретичне обґрунтування алгоритму зворотньої прогонки для розв’язку задачі про найм робочої сили 36

5.3 Алгоритм ПП розв’язку задачі 36

5.4 Приклад розв’язання ЗВРС 37

5.5 Контрольні завдання 39

6.1 Адитивність цільової функції і етапи задачі 41

6.2 Принцип занурення 41

6.3 Основне рекурентне співвідношення 42

6.4 Стани 42

6.5 Умова марковості (відсутність післядії) 44

6.6 Принцип оптимальності Белмана 45

6.7 Загальна схема застосування алгоритму ДП 46

7.1 Постановка задачі 47

7.2 Елементи динамічної моделі 49

7.2.1 Етапи 49

7.2.2 Варіанти розв’язків 49

7.2.3 Стани 50

7.2.4 Основне рекурентне співвідношення 51

7.3 Приклади розв’язання ЗУЗ 53

7.4 Контрольні завдання 56

8.1 Змістовна постановка задачі 59

8.2 Математична модель задачі 59

8.3 Елементи динамічної моделі 59

8.4 Приклад розв’язання задачі 61

8.5 Контрольні завдання 63

1 Загальна характеристика динамічного програмування

Динамічне програмування (планування) (ДП) – розділ прикладної математики, що використовується при математичному аналізі багатокрокових процесів прийняття рішень. Багатокроковий процес прийняття рішень - діяльність, при якій приймаються послідовні рішення, спрямовані на досягнення певної мети. Багатокрокові процеси прийняття рішень зустрічаються у всіляких ситуаціях: у задачах управління запасами, при приготуванні обіду, при керуванні космічним кораблем. ДП можна розглядати як єдину теорію завдяки ряду ідей і процедур, що використовувються при математичному аналізі таких задач. [2].

Динамічне програмування широко застосовується при оптимальному плануванні управляючих процесів (під управляючими маються на увазі процеси, на хід яких ми можемо впливати). Планування таких процесів може бути інтерпретоване як багатокроковий процес прийняття рішень (і навпаки).

Розглянемо постановку загальної задачі оптимального управління [1]. Припустимо, що фізична система перебуває в деякому початковому стані і є управляємою. Завдяки здійсненню деякого управління зазначена система переходить із початкового стану в кінцевий стан . При цьому вартість (якість) кожного з реалізованих управлінь характеризується значенням функції . Завдання полягає в тому, щоб із множини можливих управлінь знайти таке управління , при якому функція набуває екстремального значення.