2.1. Модули нормальной упругости в направлении оси волокна и в перпендикулярном направлении
Рассмотрим, как рассчитать модули упругости армированных КМ по известным упругим характеристикам и объемным концентрациям его компонентов. Остановимся на простейшем случае КМ – параллельно уложенные в одном направлении армирующие элементы, связанные между собой матричными прослойками (рис. 2.1). Пластины (монослои) таких материалов – основа для получения различных слоистых КМ, а по известным характеристикам однонаправленных композиций можно рассчитывать свойства композиций с различной ориентацией волокон в смежных слоях. Поэтому в дальнейшем основное внимание будем уделять свойствам однонаправленных КМ. Такие материалы трансверсально изотропны.
Основные допущения, применяемые в расчете, сводятся к тому, что и волокна и матрица – изотропные упругие материалы, которые при нагружении КМ деформируются совместно (это обеспечивается наличием между ними жесткой связи).
Рис. 2.1. Схематическое изображение структуры однонаправленных КМ (черные области – волокна, белые – матрица)
Нагрузим рассматриваемую пластину силой Рх. При этом относительная деформация хк композиции в направлении оси х в силу совместимости деформаций матрицы и волокна будет равна деформации матрицы хм и волокон хв:
(2.1)
Сумма сил, действующих на матрицу Рхм и на волокно Рхв, равна общей силе Рх:
(2.2)
Воспользовавшись тем, что силу можно представить как произведение напряжения на площадь поперечного сечения, равенство (2.2) перепишем в виде
(2.3)
где:
,
и
– растягивающие
напряжения в матрице, волокне и
всей композиции в направлении оси х
соответственно:
,
и
– поперечные
сечения матрицы, волокна и КМ,
соответственно.
Разделив обе части равенства (2.3) на Fк, получим
(2.4)
где:
,
– объемная
доля матрицы и волокна в КМ соответственно;
;
;
.
Закон Гука для одноосного напряженного состояния позволяет записать:
;
;
(2.5)
Здесь
,
и
– модули Юнга матрицы,
волокна и композиции в направлении х
соответственно. Поскольку
материалы матрицы и волокон приняты
изотропными, то в дальнейшем индексы
направления у характеристик этих
материалов будем опускать и использовать
только индексы м
и в.
Если вместо напряжений в уравнение (2.4) подставить их выражения из уравнения (2.5) и воспользоваться условием (2.1), то можно получить выражение для определения модуля нормальной упругости в направление оси волокон Ехк:
(2.6)
Это выражение позволяет определить модуль нормальной упругости однонаправленного армированного КМ в направлении армирования по известным концентрациям и модулям упругости матрицы и волокон.
Рассмотрим поведение модели (рис. 2.1) при нагружении ее силой, перпендикулярной к оси волокон. В этом случае напряжения в каждом из компонентов будут одинаковыми:
(2.7)
а абсолютная деформация ук всей композиции будет равна сумме абсолютных деформаций матрицы ум и волокон ув:
(2.8)
Абсолютная деформация связана с относительной соотношением
где:
l – длина деформируемого элемента.
Из уравнения (2.8) получаем
(2.9)
где:
,
и
– относительные деформации композиции,
матрицы и волокна в направлении оси у
соответственно;
,
и
– длина рассматриваемого элемента КМ,
суммарная длина матричных прослоек и
волокон в направлении у соответственно.
Если для упрощения принять, что сечения волокон прямоугольные, то
,
(2.10)
Разделив обе части уравнения (2.9) на lук с учетом зависимостей (2.10) получим
(2.11)
Согласно закону Гука , (относительная деформация равна частному от деления напряжений на модуль упругости). С учетом равенства (2.7) получим:
(2.12)