2.1. Загальна схема і класифікація кінцевих методів рішення задач лінійного програмування

Лінійне програмування (LP, англ. Linear Programming) — один з важливих розділів дослідження операцій, що зводиться до оптимізації лінійної цільової функції на множині, яка описується лінійними рівняннями і нерівностями. Лінійне програмування є окремими випадками математичного програмування. Одночасно воно — основа декількох методів вирішення задач цілочисельного і нелінійного програмування. Багато властивостей задач лінійного програмування можна інтерпретувати також як властивості многогранників і таким чином геометрично формулювати і доводити їх. Термін «програмування» треба тут розуміти в значенні «планування». Він був запропонований в середині 1940-х років Джорджем Данціґом, одним із засновників лінійного програмування, ще до того, як комп'ютери були використані для вирішення лінійних задач оптимізації.

Загальною задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального (мінімального) значення функції.

Для вирішення задачі методом лінійного програмування необхідно, щоб описана в ній ситуація відповідала п'яти основним умовам:

1. Вона повинна бути пов'язана з обмеженими ресурсами (тобто обмежена кількість робітників, устаткування, фінансів, матеріалів і т.д), в іншому випадку цієї задачі просто б не існувало.

2. Необхідно сформулювати точну ціль (максимізація прибутку чи мінімізація витрат).

3. Задача повинна характеризуватися лінійністю (наприклад, якщо на виготовлення деталі потрібно три години, то на виготовлення двох буде затрачено шість годин, на випуск трьох-дев'ять і тощо ).

4. Задача повинна характеризуватися однорідністю (вироби, виконані на верстаті, ідентичні; весь час, протягом якого робітник виконує ту чи іншу операцію, використовується ним з однаковою продуктивністю і тощо).

5. Ділимість: метод лінійного програмування будується на припущенні , що результати і ресурси можна поділити на долі. Якщо таке ділення не можливе (наприклад, політ половини літака чи прийнятгя на роботу одну четверту працюючого), аналітику краще скористатися спеціальною модифікацією лінійного програмування - дискретним (чи цілочисельним ) програмуванням.

До задач лінійного програмування можна віднести задачі:

• раціонального використання сировини та матеріалів;

• задачі оптимального розкрою;

• оптимізації виробничої програми підприємств;

• оптимального розміщення і концентрації виробництва;

• складання оптимального плану перевезень, роботи транспорту;

• управління виробничими запасами;

• і багато інших, що належать сфері оптимального планування.

Метою лінійного програмування є відшукування оптимуму (max, min) заданої лінійної функції при наявності обмежень у вигляді лінійних рівнянь або нерівностей. Таким чином, лінійне програмування є підходящим методом для моделювання розподілу ресурсів, якщо мета і обмеження на ресурси можна виразити кількісно у формі лінійних взаємозв'язків між змінними.

Для вирішення задач лінійного програмування найчастіше використовують симплексний метод.

Симплекс метод - є універсальним методам, яким можна вирішити будь-яке завдання лінійного програмування.