1.2. Властивості двоїстих оцінок

Перейдемо до розгляду властивостей двоїстих оцінок.

Властивість 1. Оцінки як міра дефіцитності ресурсів. Двоїсті оцінки відбивають порівняльну дефіцитність факторів виробництва. Чим вище величина оцінки y_i^*, тим вище дефіцитність i-го ресурсу. Фактори, що отримали нульові оцінки, не є дефіцитними й не обмежують виробництво.

У нашім прикладі нульову оцінку одержав третій ресурс (y₃^* = 0), тому він не є дефіцитним, тобто, з погляду задачі, фонд робочого часу на ділянці С не обмежує виробництво. Навпроти, перший (ділянка А) і другий (ділянка В) ресурси є дефіцитними, причому обмежують виробництво однаковою мірою (y₁^* = y₂^* = 1/3).

Останнє твердження легко підтвердити, підставивши x₁^* й x₂^* в обмеження вихідної задачі:

4ּ24 + 64 = 120,

224 + 64 = 72,

4 < 10.

Звідки видно, що при реалізації оптимального плану фонд робочого часу ділянки С, дійсно, витрачається не повністю.

Властивість 2. Оцінки як міра впливу обмежень на значення цільової функції. Величина двоїстої оцінки якого-небудь ресурсу показує, наскільки зросло б максимальне значення цільової функції, якби об'єм даного ресурсу збільшився на одиницю. У зв'язку із цим значення об'єктивно обумовленої оцінки іноді називають тіньовою ціною ресурсу. Тіньова ціна - це вартість одиниці ресурсу в оптимальному рішенні.

Однак потрібно враховувати, що двоїсті оцінки дозволяють виміряти ефективність лише незначної зміни об'єму ресурсів. При значних змінах може бути отриманий новий оптимальний план і нові двоїсті оцінки.

Для нашого приклада збільшення (зменшення) фонду часу на ділянці А або В повинне приводити до збільшення (зменшення) максимального прибутку на 1/3 у.о. Відповідно, наприклад, при збільшенні фонду часу ділянки А на 12 н-годин загальний прибуток повинен збільшитися на 4 у.о. (1/312).

Властивість 3. Оцінки як інструмент визначення ефективності окремих господарських рішень. За допомогою двоїстих оцінок можна визначити вигідність випуску нових виробів, ефективність нових технологічних способів виробництва. При цьому ефективним може вважатися той варіант виробництва, для якого сума прибутку, недоотриманого через відволікання дефіцитних ресурсів, буде менше вже одержуваного прибутку. Різниця між цими величинами (_j) обчислюється як:

(3.6)

де c_j – прибуток з реалізації одного продукту нового типу; a_ij – норми витрат ресурсу на виготовлення одного продукту нового типу.

У тому випадку, якщо _j 0, варіант виробництва є вигідним, якщо _j > 0 - варіант невигідний.

Властивість 4. Оцінки як міра відносної замінності ресурсів з погляду кінцевого ефекту. Наприклад, відношення yi^*/y_k^* показує, скільки одиниць k-го ресурсу може бути вивільнене при збільшенні об'єму i-го ресурсу на одиницю, для того щоб максимум цільової функції залишився на колишньому рівні; або навпаки, скільки одиниць k-го ресурсу необхідно додатково ввести при зменшенні на одиницю об'єму i-го ресурсу, якщо ми хочемо, щоб значення цільової функції не змінилося.

1.3. Аналіз розв’язків спряжених економіко-математичних задач

Симплекс-таблиця, отримана під час останньої ітерації процедури рішення ЗЛП симплекс-методом, містить у собі рішення як прямої так і двоїстої задач. Рішення для основних і неосновних (додаткових) змінних двоїстої задачі знаходяться у оцінковому рядку, де у початковій симплекс таблиці містилися коефіцієнти цільової функції прямої задачі. Оптимальний план прямої задачі позначимо через X^*={x^*₁,…, x^*_n, x^*_n+1,…x^*_n+m} а оптимальний план двоїстої — Y^*={x^*₁,…, x^*_n, x^*_n+1,…x^*_n+m}. У векторі X^* перші n змінних – це основні змінні прямої задачі, а останні m – додаткові. Відповідно у векторі Y^* перші m змінних – це основні змінні двоїстої задачі, а останні n – додаткові. Звя’зок між змінними прямої і двоїстої задач наведено у наступній таблиці.

Таблиця 1. Відповідність змінних прямої та двоїстої задач

Основні змінні прямої задачі				Додаткові змінні прямої задачі
x1	x2	…	xn	xn+1	…	xn+m
↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕
ym+1	ym+2	…	ym+n	y1	…	ym
Додаткові змінні двоїстої задачі				Основні змінні двоїстої задачі

Основні змінні оптимального плану прямої задачі означають обсяги виробництва відповідних видів продукції.

Додаткові змінні оптимального плану прямої задачі характеризують залишки (невикористані обсяги) ресурсів.

Оптимальний план двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві.

Основні змінні двоїстої задачі за наведеною схемою відповідають додатковим змінним прямої, що характеризують обсяги невикористаних ресурсів. Отже, отримані значення основних змінних двоїстої задачі можна використати для відносної кількісної оцінки важливості відповідних видів ресурсів. Крім того, за третьою теоремою двоїстості відомо: якщо деяка основна змінна оптимального плану двоїстої задачі у_і  0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягу відповідного і-го ресурсу на одиницю приводить до зміни значення цільової функції на величину у_і. Якщо у_і = 0, то значення цільової функції залишається незмінним.

Додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі відповідають основним змінним прямої задачі і, оскільки останні означають обсяги виробництва кожного виду продукції, відповідні їм додаткові змінні двоїстої задачі також у певний спосіб мають характеризувати виробництво відповідних видів продукції. За правилами побудови двоїстої задачі очевидно, що додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Отже, вони відносно характеризують збитковість виробництва відповідних видів продукції.

Повернемося до нашого приклада з ключками та шаховими наборами. Розглянемо останню симплекс таблицю цієї задачі (див. табл. 1):

Оскільки додаткові змінні x₃ та x₄ прямої задачі дорівнюють нулю, то це свідчить, що перший та другий ресурс використані повністю. Напроти, оскільки додаткова змінна x₅ характеризує, що за оптимального плану залишилось шість одиниць невикористаного третього ресурсу.

Основна змінна двоїстої задачі у₃ = 0, що у відповідності з економічним значенням цієї змінної свідчить про відсутність цінності третього ресурсу з точки зору підвищення прибутку даного підприємства. Напроти відмінність від нуля значень основних змінних двоїстої задачі вказує про їх цінність для збільшення прибутку, а кількісне значення у₁ = у₂ = 1/3 вказує, що при збільшенні кожного з ціх ресурсів на одиницю прибуток підприємства збільшиться на 1/3 умовної грошової одиниці. Тобто ці ресурси є цінними для збільшення прибутку підприємства.

Таблиця 2. Симплекс-таблиця оптимального плану задачі

Базис	Змінні					bi
	x1	x2	x3	x4	x5
x3	0	0	1/6	-1/3	1	6
x1	1	0	1/2	-1/2	0	24
x2	0	1	-1/6	1/3	0	4
cj	0	0	1/3	1/3	0	64

Розглянемо тепер значення додаткових змінних оптимального плану двоїстої задачі. Оскільки обидві вони у₄ = у₅ = 0, то додаткове виробництво кожного виду не буде збитковим.

Розглянемо ще одне питання, пов’язане з використанням оптимальних рішень двоїстих задач.

Нехай підприємство планує до випуску новий вид виробів: бейсбольні біти. Для виробництва однієї біти необхідно затратити 3 години роботи на ділянці А, 4 години роботи на ділянці В и 1 година роботи на ділянці С. Прибуток, одержуваний від продажу однієї біти, становить $3. Чи вигідно підприємству випускати нову продукцію?

Для відповіді на питання використаємо властивість 3 і розрахуємо _j по формулі (3.6):

Δ_j = 3ּy₁^* + 4ּy₂^* + 1ּ y₃^* - 3 = 31/3 + 41/3 + 10 - 3 = -2/3,

_j < 0, значить робити бейсбольні біти вигідно.

І на кінець розглянемо прояв властивості 4. У нашім прикладі двоїсті оцінки першого й другого ресурсів рівні (у₁ = у₂ = 1/3). Це означає, що, наприклад, при зменшенні фонду часу на ділянці А на 1 н-годину необхідно збільшити фонд часу на ділянці В на 1 н-годину, щоб загальний одержуваний підприємством прибуток залишився незмінним.

Таблиця 2. Співставлення формулювань та результатів рішення прямої та двоїстої задач оптимального планування.

Пряма задача	Двоїста задача
Математична модель задач
F = 2x1 + 4 x2 → max; 4 x1 + 6 x2 ≤ 120, 2 x1 + 6 x2 ≤ 72, x2 ≤ 10; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.	Z = 120 y1 + 72y2 + 10y3 → min; 4 y1 + 2 y2 ≥ 2, 6 y1 + 6 y2 + y3 ≥ 4, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
Означення та інтерпретація функції мети та основних змінних задачі
xj, j = 1,…, n, xj – кількість продукції за номером j у переліку товарів, які можуть виготовлятися на підприємстві, при реалізації оптимального плану; n – кількість видів товарів, занесених до номенклатури товарів, що можуть виготовлятися на підприємстві; F(X) – загальний прибуток від реалізації продукції (функція мети) .	yi, i = 1,…, m, yi – вартість одиниці і-го ресурсу (на скільки зросте функція мети прямої задачі при збільшенні на одиницю запасу і-го ресурсу); m – кількість видів ресурсів з номенклатури ресурсів, необхідних для випуску товарів. Z(Y) – вартість всіх наявних ресурсів (функція мети).
Економічна інтерпретація задачі
Скільки товарів кожного виду з номенклатури товарів, що випускаються підприємством, необхідно виготовити, щоб при заданих значеннях прибутку з реалізації одного виробу кожного виду товарів cj (j = 1,…,n) та обсягів наявних ресурсів bi (i = 1,…,m) максимізувати прибуток.	Якою повинна бути ціна одиці кожного з видів ресурсів, щоб при заданих їх обсягах bi (i = 1,…,m) та значеннях прибутку з реалізації одного виробу кожного виду товарів cj (j = 1,…,n) мінімізувати загальну вартість витрат на ресурси
Інтерпретація додаткових змінних задач
xn+1,…,xn+m – обсяги залишків ресурсу кожного виду (який обсяг кожного виду ресурсів залишиться на складі при реалізації оптимального плану)	ym+1,…,ym+n – міра збитковості виготовлення кожного виду товару (наскільки зменшиться функція мети при примусовому випуску одного виробу даного виду товару)
Де знаходяться рішення у симплекс таблиці
Значення базисних змінних (їх перелік знаходиться у першому стовпчику симплекс-таблиці) знаходяться у відповідних (по відношенню до переліку базисних змінних) комірках стовпчика bi.	Значення змінних знаходиться у останньому рядку симплекс таблиці. Порядковий номер змінних визначається у відповідності з таблицею відповідності змінних прямої та двоїстої задач