7

Змістовний модуль 3 Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

1. Двоїстість у лінійному програмуванні

Теорія математичного лінійного програмування дозволяє не тільки одержувати оптимальні плани за допомогою ефективних обчислювальних процедур, але й робити ряд економічно змістовних висновків, заснованих на властивостях задачі, що є двоїстою стосовно вихідної ЗЛП.

Нехай у якості прямої дана задача:

F = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n → max;

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n ≤ b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n ≤ b₂,

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n ≤ b_m; (3.1)

x_j ≥ 0, j = 1,2,…,n

Задача лінійного програмування, двоїста задачі (3.1), буде мати вигляд:

Z = b₁y₁ + b₂y₂ + ... + b_my_m → min;

a₁₁y₁ + a₂₁y₂ + ... + a_m1y_m  c₁,

a12y₁ + a₂₂y₂ + ... + a_m2y_m  c₂,

...

a_1ny₁ + a_2ny₂ + ... + a_mny_m ≥ c_n; (3.2)

y_i ≥ 0, i=1,2,…,m.

Можна сформулювати правила одержання двоїстої задачі із прямої задачі.

1. Якщо у прямій задачі шукається максимум цільової функції, то у двоїстій їй - мінімум.

2. Коефіцієнти при змінних у цільовій функції однієї задачі є вільними членами системи обмежень іншої задачі.

3. У прямій ЗЛП всі функціональні обмеження - нерівності виду “”, а в задачі, двоїстій їй, - нерівності виду “”.

4. Коефіцієнти при змінних у системах обмежень взаємно двоїстих задач визначаються матрицями, транспонованими відносно одна одній.

5. Число нерівностей у системі обмежень однієї задачі збігається із числом основних змінних в іншій.

6. Умова невід’ємності змінних зберігається в обох задачах.

1.1. Теореми двоїстості

Зв'язок між оптимальними планами взаємно двоїстих задач установлюють теореми двоїстості.

Теорема 1. Якщо одна із двоїстих задач має кінцевий оптимум, то інша також має кінцевий оптимум, причому екстремальні значення цільових функцій співпадають:

maxF = F(X^*) = minZ = Z(Y^*). (3.3)

Якщо цільова функція однієї із двоїстих задач не обмежена, то умови іншої задачі суперечливі.

Теорема 2 (про нежорсткість, що доповнює). Для того щоб план X^*= (x₁^*, x₂^*,…, x_n^*) і план Y^*=(y₁^*,y₂^*,…,y_m^*) були оптимальними рішеннями, відповідно, задач (3.1) і (3.2) необхідно й достатньо, щоб виконувалися наступні співвідношення:

(3.4)

Таким чином, якщо компонент оптимального плану x_j^* більше нуля, то при підстановці у відповідне обмеження двоїстої задачі оптимального плану Y^* це обмеження обертається у вірну рівність, і навпаки.

Теорема 3 (про оцінки). Значення змінних y_i^* в оптимальному рішенні двоїстої задачі являють собою оцінки впливу вільних членів b_i у системі обмежень прямої задачі на величину цільової функції F(X^*):

. (3.5)

Компоненти оптимального рішення двоїстої задачі y_i^* прийнято називати двоїстими оцінками. Часто вживається також термін «об'єктивно обумовлені оцінки».

На властивостях двоїстих оцінок базується економіко-математичний аналіз розподілу ресурсів. У межах стійкості двоїстих оцінок мають місце властивості, розглянуті нижче.

При описі властивостей двоїстих оцінок будемо користуватися задачею про хокейні ключки й шахові набори для наочної ілюстрації розглянутих положень.

Формулювання прямої (початкової) задачі:

F = 2x₁ + 4 x₂ → max;

4 x₁ + 6 x₂ ≤ 120,

2 x₁ + 6 x₂ ≤ 72,

x2 ≤ 10;

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Отримаємо двоїсту задачу.

Z = 120 y₁ + 72y₂ + 10y₃ → min;

4 y₁ + 2 y₂ ≥ 2,

6 y₁ + 6 y₂ + y₃ ≥ 4,

y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0, y₃ ≥ 0.

У результаті рішення одержимо наступні оптимальні плани:

X^*= (24, 4, 6, 0, 0); Y^*= (1/3, 1/3, 0, 0, 0).

Легко переконатися, що при підстановці оптимальних планів у цільові функції задач обоє одержуваних значення рівні 64.