Змістовний модуль 2. Задача лінійного програмування та методи її розв'язування
1. Геометричне рішення злп
Якщо система обмежень задачі лінійного програмування представлена у вигляді системи лінійних нерівностей із двома змінними, то така задача може бути вирішена геометрично. Таким чином, даний метод рішення ЗЛП має дуже вузькі рамки застосування.
Однак метод становить великий інтерес із погляду вироблення наочних уявлень про сутність задач лінійного програмування.
Геометричний (або графічний) метод припускає послідовне виконання ряду кроків.
1.1. Алгоритм графічного методу
1. Сформулювати математичну модель ЗЛП.
2. Для кожного обмеження задачі лінійного програмування (ЗЛП) виконати наступні дії:
а) На площині змінних х1, х2 будуємо прямі, рівняння яких отримуємо шляхом заміни в обмеженні знаку нерівності на знак рівності.
б) Вибираємо напівплощину, (як правило та напівплощина, якій належить початок координат) і приймаємо гіпотезу, що цій півплощині належить множина допустимих розв’язків.
в) на обраній напівплощині визначаємо координати характерної точки (як правило початок координат) і підставляємо ці координати в математичний вираз обмеження, для якого відшукується напівплощина допустимих розв’язків.
г) гіпотеза про приналежність множини допустимих розв’язків до обраної нами напівплощини підтверджується, якщо математичний вираз обмеження, що аналізується нами, є істина, в противному разі обирається інша напівплощина.
2. Знаходимо багатокутник розв’язків ЗЛП.
3. Будуємо вектор С={c1, c2}, що визначає напрям максимального зростання значення цільової функції ЗЛП.
4. Будуємо пряму c1x1 + c2x2=const, перпендикулярну до вектора С (бажано, щоб проведена пряма проходила через багатокутник рішень ).
5. Переміщаючи пряму c1x1 + c2x2=const паралельно самій собі в напрямі вектора С (для задачі максимізації), або в протилежному напрямку (для задачі мінімізації) через усю множину допустимих планів, визначаємо вершину багатокутника планів, яку вказана пряма перетне останньою. Ця вершина відповідає оптимальному плану ЗЛП.
6. Визначаємо координати вершини, що відповідає оптимальному плану ЗЛП. Для цього розв’язуємо систему рівнянь для прямих, що утворюють цю вершину. Розв’язок даної системи є оптимальним планом.
7. Підставляємо значення координат вказаної вершини у функцію мети та отримуємо її оптимальне значення.
1.2. Приклад рішення злп графічним методом
Приклад. Компанія спеціалізується на випуску хокейних ключок і наборів шахів. Кожна ключка приносить компанії прибуток у розмірі 2 у.о., а кожний шаховий набір - у розмірі 4 у.о.. На виготовлення однієї ключки потрібно чотири години роботи на ділянці A і дві години роботи на ділянці B. Шаховий набір виготовляється з витратами шести годин на ділянці A, шести годин на ділянці B і однієї години на ділянці C. Доступна виробнича потужність ділянки A становить 120 н-годин у день, ділянки В - 72 н-години й ділянки З - 10 н-годин. Скільки ключок і шахових наборів повинна випускати компанія щодня, щоб діставати максимальний прибуток?
1. Формулюємо математичну модель задачі:
F = 2 x1 + 4 x2 → max;
4 x1 +6 x2 120,
2 x1 +6 x2 72,
x2 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2. Тепер побудуємо прямі, що відповідають кожному з функціональних обмежень задачі у вигляді рівностей (див. малюнок 2.1). Ці прямі позначені на малюнку (1), (2) і (3).
3. Штрихи на прямих вказують напівплощини, обумовлені обмеженнями задачі.
4. Область припустимих рішень містить у собі точки, для яких виконуються всі обмеження задачі. У нашім випадку область являє собою п'ятикутник (на малюнку позначений ABCDO і пофарбований синім кольором).
5. Пряма, що відповідає цільовій функції, на малюнку представлена пунктирною лінією.
Малюнок 2.1 - Геометричне рішення ЗЛП
6. Пряму пересуваємо паралельно самій собі вгору (напрямок зазначений стрілкою), оскільки саме при русі в цьому напрямку значення цільової функції збільшується. Останньою точкою багатокутника рішень, з якою зіткнеться пряма, що пересувається нами, перш ніж покине його, є точка C. Це і є точка, що відповідає оптимальному рішенню задачі.
7. Залишилося обчислити координати точки С. Вона є точкою перетину прямих (1) і (2). Вирішивши спільно рівняння цих прямих, знайдемо: x1*=24, x2* =4. Підставляючи знайдені величини в цільову функцію, знайдемо її значення в оптимальній точці: F=64.
Таким чином, для максимізації прибутку компанії варто щодня випускати 24 ключки й 4 шахових набори. Реалізація такого плану забезпечить щоденний прибуток у розмірі 64 у.о.