Нормальні системи диференціальних рівнянь
Нормальною системою диференціальних рівнянь називається система виду
,
де x, y – невідомі функції відносно незалежної змінної t, а праві частини є лінійними функціями відносно x, y.
Така система диференціальних рівнянь зводиться до одного рівняння другого порядку, що містить одну невідому функцію. Таке зведення можна здійснити, продиференціювавши одне з рівнянь системи і виключивши одну з невідомих.
Приклад. Розв’язати систему лінійних диференціальних рівнянь
Розв’язання. Продиференціюємо перше рівняння системи
.
Із другого рівняння підставляємо
,
отримаємо
.
З першого рівняння виражаємо
і підставляємо в останній вираз:
.
Отримали лінійне однорідне диференціальне
рівняння ІІ порядку зі сталими
коефіцієнтами відносно функції
:
.
Його характеристичне рівняння
має комплексно-спряжені корені
.
Розв’язок
рівняння
наступний
.
Його похідна має вигляд
,
яку підставляємо у вираз
.
Отримуємо
.
Отже, розв’язок
системи має вигляд
