Диференціальні рівняння другого порядку

Нехай задано диференціальне рівняння, яке містить похідні вищих порядків. Порядок найвищої похідної невідомої функції, що входить у диференціальне рівняння, називається порядком даного рівняння. Зокрема, диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

,

де – незалежна змінна, – невідома функція.

Розглянемо диференціальне рівняння другого порядку, що не містить шуканої функції у:

.

Ввівши нову змінну і врахувавши, що , отримаємо рівняння першого порядку відносно функції z(x)

із загальним розв’язком . Далі отримаємо диференціальне рівняння , розв’язок якого знаходимо шляхом інтегрування.

Нехай диференціальне рівняння другого порядку не містить явно аргумент х:

.

Ввівши нову функцію , де у розглядається, як її аргумент і використавши правило диференціювання складеної функції , отримаємо рівняння першого порядку виду

із загальним розв’язком . Далі отримаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними .

Приклад. Розв’язати задачу Коші для диференціального рівняння, що допускає пониження степеня.

, , .

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням типу .

Зробимо підстановку , тоді .

, відокремимо змінні і проінтегруємо обидві частини отриманої рівності

,

,

, далі і ,

– загальний розв’язок рівняння. Для знаходження значень використаємо початкові умови.

З умови маємо: ,

з умови маємо: .

Отже, шуканий частинний розв’язок має вигляд .

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд

, .

Для знаходження загального розв’язку відповідного однорідного рівняння

складаємо і розв’язуємо характеристичне рівняння

.

Позначимо корені характеристичного рівняння через і . Можливі три випадки:

1) корені дійсні і різні , тоді ,

2) корені дійсні і рівні , тоді ,

3) корені комплекснo-спряжені , тоді .

Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння знаходиться у вигляді суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння, тобто . Причому шукається залежно від вигляду функції .

Нехай , де – многочлен степеня , тоді частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді , де – многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, – кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

Нехай , де – многочлен степеня , – дійсне число, тоді частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді , де – многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, – кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

Нехай , тоді частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді , де – кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

Приклад. Розв’язати лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

а) знайти частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння, який задовольняє задані початкові умови

, , .

Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.

, . В даному випадку корені комплексно-спряжені, тому загальний розв’язок рівняння наступний

.

Продиференціюємо загальний розв’язок

.

Підставляємо початкові умови в останні два вирази

Отже, частинний розв’язок має вигляд .

б) Знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

.

Розв’язання. Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

Для цього складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені

, .

Враховуючи, що корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, загальний розв’язок однорідного рівняння записуємо у вигляді

де – довільні сталі.

Оскільки ( ), то частинний розв'язок шукаємо у вигляді де ─ невідомі коефіцієнти.

Звідси

Підставляємо у вихідне рівняння і скоротивши всі доданки на множник , отримуємо

. Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х зліва і справа отримуємо рівності

Тобто

Таким чином, загальний розв’язок заданого неоднорідного диференціального рівняння має вигляд