Математическая постановка задачи

Требуется найти такие значения и , при которых функция общих суммарных затрат в единицу времени

принимает минимальное значение.

Решение. В соответствии с необходимым условием существования экстремума функции нескольких переменных, находим частные производные

Находим стационарные точки, решая систему уравнений:

Находим оптимальные значения и

(1)

(2)

Так как из уравнений (1) и (2) нельзя определить в явном виде оптимальные значения и , то для их нахож­дения используется численный алгоритм, предложенный Хедли и Уайтин. Ими было доказано, что итерационный алгоритм вычисления оптимальных значений и сходится за конечное число итераций при условии, что допустимое решение существует.

Алгоритм Хедли - Уайтин.

Полагая , из уравнений (1) и (2) находим значения:

.

Если , то вы­числяется наименьшее значением = , которое достигается при . Затем оптимальные значения и определяются единственным образом с помощь следующей итерационной процедуры.

Итерация 0. Принимаем начальное решение = и По­лагаем и переходим к шагу .

Итерация . Используем значение для определения , из уравнения (2). Здесь возможны два случая;

1. Если = , то вычисления заканчиваются; оптимальным решением считаем = и = .

2. Если , то вычисления продолжаются. Используем значение , в уравнении (1) для вы­числения . Полагаем и повторяем итерацию .

В стохастической модели экономического размера заказа допускается неудовлетворенный спрос, как это показано на рис. 3.

2

.

Рис. 3.

Иллюстративная задача Экономическая постановка задачи.

Электротехническая компания использует в производственном процессе кани­фоль в количестве 1000 галлонов в месяц. Размещение заказа на новую поставку канифоли обходится фирме в 100 долларов. Стоимость хранения одного галлона канифоли на протяжении одного месяца равна 2 доллара, а удельные потерн от ее дефицита— 10 долларов за один галлон. Статистические данные свидетельствуют о том, что спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно распределенной от 0 до 100 галлонов. Определите оптимальную политику управ­ления запасами для компании.

Построение математической модели

Используя принятые в модели обозначения, имеем следующее.

D = 1000 галлонов в месяц,

К = 100 долл. за размещение заказа,

h = 2 долл. за один галлон в месяц,

р = 10 долл. за один галлон,

галлонов.

Математической модель задачи

Требуется найти такие значения и , при которых функция общих суммарных затрат в единицу времени

=

принимает минимальное значение.

Решение.

Сначала необходимо проверить, существует ли допустимое решение задачи Используя уравнения для и , находим значения:

галлонов,

= галлонов.

Так как > , то существуют единственные оптимальные значения и . Выражение для S записывается в следующем виде

Используя в уравнениях (1) и (2) выражение для S, получаем

галлонов,

Из последнего уравнения находим

.

Используя найденные значения и , с помощью итерационной процедуры находим оптимальные значения и .

Итерация 1.

= галлонов,

галлонов

Итерация 2. Вычисляем

галлонов.

Находим

галлонов

Следовательно,

галлонов.

Итерация 3. Вычисляем

галлонов.

Находим

галлонов.

Следовательно,

галлонов.

Так как значения и примерно одинаковы, то в качестве оптимальных значений и можно приближенно принять галлонов и галлонов.

оптимальное решение определяется значениями Л' = 93.61 галлонов, у' = 319.4 галлонов.

Вывод: оптимальная стратегия управления запасами в рассматриваемом случае формулируется следующим образом: Нужно размещать зака­з примерно на 320 галлонов, как только запас уменьшается до 94 галлонов.

На практиці обсяги запасів науково не обгрунтовані, що призводить до невиправдано значної витрати обігових коштів та "заморожування" матеріальних цінностей. Така ситуація досить негативно впливала на соціалістичну економіку, а в умовах ринкової економіки може бути згубною. Обсяги страхового запасу 5^, необхідно економічно обгрунтувати, гарантуючи певний рівень обслуговування. Розглянемо деякі моделі дослідження вказаної ситуації. Для спрощення вважатимемо, що маємо однономенклатурну задачу. Розбудовуючи модель, будемо виходити з того, що знайдено орієнтовно оптимальні детерміновані параметри управління системою, тобто задача розв'язана за умови вибору деяких середніх значень величин необхідних параметрів (йдеться про уточнення моделі).

Обсяг поставки 5 маємо згідно з формулою (6). Момент замовлення визначатиметься рівнем запасу 5_кр :

5_кр=</ + К (32)

(5 = №(</)- середній попит (математичне сподівання) за проміжок г від моменту

замовлення поставки до його виконання;

Н - страховий (резервний) запас, необхідний для виконання замовлення у випадку,

якщо фактичний попит ^ за термін реалізації перевищуватиме очікуваний Ц, тобто

Сумарні витрати С на управління при врахуванні страхового запасу К обчислимо, скориставшися формулою (Ш):

С~С₀(5) + с₂К. (33)

Як відомо, за міру відхилення можливих значень випадкової величини від її математичного сподівання (середнього значення) прийнято середнє квадратичне відхилення о\ тому доцільно прийняти, що резервний запас пропорційний &{д):

К = Лст(<}). (34)

Тоді момент замовлення визначається за умови:

5_кр=5 + Да(_д). (35)

Величина Я має бути вибрана так, щоб забезпечити певний рівень обслуговування:

Метод экстраполяции

Метод экстраполяции является наиболее простым экономико-математическим методом определения размеров запаса, который позволяет перенести темпы, которые сложились в прошлом на будущее.

Так, имея данные о размере запасов за прошлые четыре периода, применив метод экстраполяции, можно рассчитать размер запасов на будущий период при помощи формулы:  

Y5 = 0,5 (2Y4 + Y3 — Y1), 

где Y1, Y3, Y4 — показатели запаса (в процентах к обороту, в сумме  или днях), за первый, третий и четвертый периоды соответственно; 

Y5 — нормативный показатель (уровень) запаса на будущий, пятый период. 

Спрогнозировать уровень запасов для шестого периода можно при помощи следующей формулы: 

Y6 = 0,5 (2Y5 + Y4 — Y2), 

где Y6 — нормативный показатель (уровень) запаса на шестой период. 

Мировая практика управления запасами на предприятии показывает, что рост запасов должен немного отставать от роста спроса. В математическом выражении это выглядит так: 

Тз = корень (То),

где Тз — темп роста запасов; То — темп роста спроса. 

В этой главе рассматриваются детерминирован­ные модели управления запасами. Вероятностные модели (обычно более сложные) будут рассмотрены в следующей теме.

2) бо­лее точная вероятностная модель экономичного размера заказа, которая учитывает вероят­ностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.