2. Стохастическая модель экономического размера заказа.

Недостатком рассмотренной выше модели Уилсона с вероятностным спросом является то, что существенная информация, имею­щая отношение к вероятностной природе спроса, при этом подходе первоначально не учитывается, а используется лишь независимо на последнем этапе вычислений. Чтобы исправить такую ситуацию, рассмотрим более точ­ную модель, в которой вероятностная природа спроса учитывается непосредственно в постановке задачи.

Рассматриваемая модель базируется на следующих трех допущениях:

1. Неудовлетворенный в течение периода выполнения заказа спрос накапливается.

2. Разрешается не более одного невыполненного заказа.

3. Распределение спроса в течение периода выполнения заказа является стационарным (неизменным) во времени.

Экономическая постановка стохастической модели экономического размера заказа

При условии, что спрос на протяжении периода выпол­нения заказа является случайной величиной, определить оптимальные значения размера запаса и критического уровня запаса, при которых предприятие обеспечивается необходимым количеством запасов, и совокупные затраты по закупке и хранению запасов на складе минимальны.

Построение математической модели

Для построения модели вводим обозначения:

— плотность распределения спроса в течение периода выполнения заказа,

— среднее значение спроса в единицу времени,

— удельные затраты на хранение (затраты на хранение единицы продукции в течение единицы времени),

— удельные потери от неудовлетворенного спроса (потери на единицу продукции за еди­ницу времени),

— стоимость размещения заказа.

В рассматриваемой модели за­каз размером размещается тогда, когда объем запаса достигает уровня . Как и в де­терминированном случае, уровень , при котором размешается заказ, является функцией периода времени между размещением заказа и его выполнением. Оптималь­ные значения и определяются путем минимизации ожидаемых затрат системы управ­ления запасами, отнесенных к единице времени, которые включают как расходы на раз­мещение заказа и его хранение, так и потери, связанные с неудовлетворенным спросом.

Основываясь на этих предположениях, вычислим компоненты функции затрат.

1. Стоимость размещения заказов. Приближенное число заказов в единицу времени равно , так что стоимость размещения заказов в единицу времени равна .

2. Ожидаемые затраты на хранение. Усредняя ожидаемые уровни запасов в начале и конце периода выпол­нения заказа, получаем, что средний уровень запаса определяется по формуле

.

Следовательно, ожидаемые затраты на хранение за единицу времени равны .

Отметим, что при рассмотрении модели игнорируется случай, когда величина отрицательна, что яв­ляется одним из упрощающих допущений рассматриваемой модели.

3. Ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом. Дефицит возникает при . Следовательно, дефицит, ожидаемый в течение единицы времени, равен

.

Так как в модели предполагается, что пропорционально лишь объему дефицита, то ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом, за один цикл равны . Поскольку единица времени содержит циклов, то ожидаемые потери, обусловленные дефицитом, составляют за единицу времени.

Результирующая функция, отражающая суммарные затраты за единицу времени , имеет следующий вид.

.