Математическая модель задачи.

Требуется определить размер резервного запаса , который удовлетворяет вероятностному условию

,

при условии, что случайная величина распределена по нормальному закону .

Решение.

Прежде всего, с помощью модели Уилсона находим оптимальный размер заказа для детерминированного случая

и период выполнения заказа

Затем, пользуясь вероятностным условием

, (1)

определяем размер резервного запаса .

Разделив неравенство

на величину , получим

.

Введем случайную величину

.

Эта величина имеет нормальный закон распределения с параметрами:

,

Таким образом, случайная величина является нормированной величиной с законом распределения .

График дифференциальной функции распределения случайной величины изображен на рис.1

Рис. 1.

Из свойств нормального закона распределения следует, что вероятность того, что имеет место равенство

определяется по формуле

,

Из последнего равенства находим .

Область, в которой выполняется неравенство на рис.1 обозначена .

Т.к. , то

Следовательно, размер резервного запаса должен удовлетворять неравенству

.

Величина спроса на протяжении периода выполнения заказа обычно описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, к дню или неделе), из которой можно определить распределение спроса на протяжении периода .

В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной величиной со средним значением и стандартным отклонением , то общий спрос на протяжении периода выполнения заказа будет иметь распределение , где = и .

На рис. 2 показана зависимость между размером резервного запаса с средней величиной спроса на протяжении периода выполнения за­каза и оптимальными значениями детерминированной модели экономического размера заказа и периода выполнения заказа . Заметим, что должно быть равно эффективному времени выполнения заказа, как это определено в модели Уилсона.

У ровень Точки возобновления заказа

з апаса

Рис. 1.

Иллюстративная задача

Обобщая иллюстративную задачу 1 об управлении запасом неоновых ламп в городе на случай случайного спроса, получаем следующую экономическую постановку задачи.

Экономическая постановка задачи.

При условии, что дневной спрос является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием D= 100 ламп и среднеквадратическим отклонением = 10 ламп, требуется определить оптимальный размер страхового запаса, при котором вероятность истощения запаса в течение периода выпол­нения заказа не превы­шает величины . Совокупные затраты по закупке и хранению запасов на складе должны быть минимальны.

Решение. При решении иллюстративной задачи 1 был определен оптимальный размер заказа =1000 ламп и эффективное время выполнения заказа дня .

Определим теперь дневной спрос, который является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием D= 100 ламп и среднеквадратическим отклонением = 10 ламп. Находим

= = ламп,

= ламп.

Рассмотрим теперь вероятностное условие

.

Т.к. по условию , то из условия

,

находим

С помощью таблиц функции Лапласа находим

Следовательно, размер резервного запаса вычисляется сле­дующим образом.

неоновые лампы.

Вывод: при экономичном размере заказа =1000 ламп оптимальная стратегия управления запасами с объемом резерва В состоит в заказе 1000 ламп, как только объем запаса уменьшается до =223 неоновых ламп.