XIII. Линейное пространство. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространство.

1. Определение линейного пространства. Примеры.

2. Простейшие свойства линейных пространств.

3. Определение базиса пространства. Теорема о базисах. Размерность пространства. Примеры.

4. Подпространство. Критерий подпространства. Примеры.

Литература: [6], [7], [9].

Основная литература

1. Алгебра и теория чисел. Ч.III/ Под. Ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1974.

2. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. – М.: Просвещение, 1974.

3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. – М.: Просвещение, 1978.

4. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С. Математический анализ. Введение в анализ. – М.: Просвещение, 1973.

5. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. – М.: Просвещение, 1959.

6. Громов А.П. Учебное пособие по линейной алгебре. – М.: Просвещение, 1971.

7. Демидов И.Т. Основания арифметики. – М.: Просвещение, 1963.

8. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.Т. 1 – 2. – М.: Высшая школа, 1970.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1968.

10. Ляпиш Е.С., Евсеева А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч.I. – М.: Просвещение, 1974.

11. Проскуряков И.В. Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики, с. 77 – 252. Энциклопедия элементарной математики. – Т. I.

12. Солнцев Ю.К.Ю, Соркин Ю.И., Нечаев В.А. Арифметика рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1971.

13. Уравенков И.М., Меллер М.З. Курс математического анализа. – Т. I. – М.: Просвещение, 1966.

14. Феферман С. Числовые системы. – М.: наука, 1971.

15. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.Т. 1 – 2. – М.: наука, 1968.

Дополнительная литература

16. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: просвещение, 1993.

17. Сборник задач по алгебре. Под. Ред. Кострикина А.И. – М.: Факториал, 1995.

18. Фаддеев Ю.Н. Лекции по алгебре. – СПб.: Лань, 2002.

Примерные типы задач по элементарной математике для Государственного экзамена.

1. Решить систему уравнений:

Ответ (6; 2)

2. Решите неравенство:

Ответ (3; 1)

3. При каких значениях параметра n уравнение 15×10^х – 20 = n - n×10^{х + 1} не имеет корней?

Ответ [-20; -1,5]

4. Решить уравнение:

Ответ 2/5

5. Найти все значения переменной х при которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = и g(x) = 6 не превосходит 2.

6. Решите уравнение:

+ = 2

Ответ х = 3

7. Решите уравнение:

Ответ х = ± 2

8. Укажите наименьшее целое решение неравенства

Ответ 6

9. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а S_полн.= 27 . Найти объём пирамиды.

Ответ 9

10. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна

, а угол между боковой гранью и плоскостью основания 60°. Найти S_бок.

Ответ 6

11. В правильной 6-ти угольной пирамиде R= 2 (радиус окружности, описанной около основания), а угол между боковой гранью и плоскостью основания 30°. Найти S_бок пирамиды.

Ответ 12

12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания , а угол между боковой гранью и плоскостью основания 30°. Найти S_полн.пирамиды.

Ответ 6+ 3

13. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6м, 8м и 10м, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объём пирамиды.

Ответ 40

14. Основанием треугольной пирамиды МАВС является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ= 10, и катетом АС= 8. Боковые ребра пирамиды образуют с высотой пирамиды углы, равные 45°. Найдите объём пирамиды.

Ответ 40

15. В пирамиде SАВС грани SАВ и SАС перпендикулярны плоскости основания, ребро ВС равно 10, а двугранный угол при ребре ВС равен 45°. Найти объём пирамиды, если площадь её основания равна 30.

Ответ 60

16. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом α. Боковое ребро его равно b и образует со сторонами основания углы, равные j. Определить объём параллелепипеда.

17. Площадь параллелограмма АВСD равна 12 см². Точки M и N, принадлежащие смежным сторонам АВ и АD соответственно, делят стороны в отношении 1 : 3 и 1 : 2. Найти площадь четырехугольника АMCN.

18. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны а, b, с. Первые два ребра взаимно перпендикулярны, а третье ребро образует с каждым из них угол . Определить объем параллелепипеда.

19. Площадь параллелограмма MNKP равна 24 см². Точки F и Q, принадлежащие противолежащим сторонам MN и KP соответственно, делят эти стороны в отношении 1 : 3 и 1 : 2. Найти площадь четырехугольника МFKQ.

20. В параллелепипеде все грани – равные ромбы со стороной а и острым углом α. Определить его объем.

21. Площадь параллелограмма АВСD равна 6 см². Точки M и N, принадлежащие смежным сторонам АВ и АD соответственно, делят стороны в отношении 1 : 2. Найти площадь четырехугольника AMCN.

22. Гранями параллелепипеда служат ромбы, диагонали которых равны 3 см и 4 см. В параллелепипеде имеются трехгранные углы, составленные тремя острыми углами ромбов. Найти объем параллелепипеда.

23. Площадь параллелограмма MNKP равна 15 см². Точки F и Q, принадлежащие противолежащим сторонам MN и KP соответственно, делят эти стороны в отношении 2 : 3 и 1 : 4. Найти площадь четырехугольника MFKQ.

24. Укажите область определения функции .

25. Найдите область определения функции .

26. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

27. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

28. Найдите нули функции .

29.Найдите наибольшее значение функции на промежутке [1; 7].

30.Найдите наибольшее значение функции на отрезке . 

31.Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и . Найдите значение выражения .

32.Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [-1;3].

33.Найдите значение функции в точке максимума.

34.При каких значениях х соответственные значения функций и будут отличаться меньше, чем на 1?