Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

нулю, если простой гладкий контур 7 не содержит вихрь7 внутри и /ГР dx +

кими контурами: внешним Г и внутренним 7 “ , и пусть в (7 задано непре­ рывно дифференцируемое поле (Р, Q) такое, что dQ/dx = дР/ду. Показать, что для любого простого гладкого контура (7, содержащего 7 внутри, вы­ полнено равенство

J P d x + Qdy = J Р dx + Q dy.

С7

Уп р а ж н е н и е 5. Пусть выполнены условия упр. 4. Показать, что внут­ ри контура 7 можно поместить точечный вихрь такой, что поле (Р, Q) бу­ дет суммой поля точечного вихря и потенциального поля.

Уп р а ж н е н и е 6. Обобщить результаты упр. 4 и упр. 5 на п-связные области.

§ 52 . П о в ер х н о ст и

непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве Е С /?2, ес­ ли она определена и имеет непрерывные частные производные d f /ди и d f /dv на открытом множестве G, содержащем замкнутое мно­ жество Е.

512 Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

Например, график функции z = х2 + у 2, (ж, у) Е О, где О = {(ж, 2/):

ж2 + у 2 ^ 1}, есть простая поверхность. О круж ность, получаемая при

(без разрывов и изломов) деф орм ацию плоской области О в м н ож ест­ во Е (простую поверхность в пространстве R 3). Для практических

тивно ясно, что сф еру нельзя получить никакой гладкой деф ормацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностны х интегралов, вве­ дем в рассм отрение класс почти просты х поверхностей .

П усть О — плоская область и F: О R 3 — непрерывно диф ф ерен ­ цируем ое отображ ение. Б удем м нож ество Е = F ( Q ) называть почти простой поверхностью в /?3, если найдется расш иряющ аяся после­

£ n = F(Qn) являются простыми (рис. 52.1). Поэтому сфера S — почти простая поверхность. А

Пр и ме р 2. Конус К = {(ж, у , г): ж2 + у2 = z2} есть почти простая поверхность.

Д Введем цилиндрические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда конус К есть образ полуполосы

П = {(г, ср): 0 ^ г < + оо, 0 ^ ср ^ 27г}

при непрерывно дифференцируемом отображении F: Q -+ К таком, что ж — г cos ср, у = г sin ср, z = г.

Это отображение не является взаимно однозначным, так как от­

En = F(Qn) являются простыми. Поэтому конус К — почти простая поверхность. А

У п р а ж н е н и е 3. Показать, что поверхность х2 + у2 = z2, 0 ^ z ^ Н, является почти простой.

Если Е есть простая поверхность, заданная векторным уравнени­ ем (5), а непрерывно дифференцируемые функции

задают взаимно однозначное отображение замыкания области fi' на замыкание ограниченной области fi, причем якобиан отображения

ди ди

d(u>v) = Ж7 Ж7 d(u',v') dv_

ди' ди'

отличен от нуля в fi , то уравнение

определяет ту же простую поверхность, что и уравнение (5). Урав­ нения (5) и (6) называют различными параметризациями поверхнос­ ти Е.

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, до­ пуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифферен­ цируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерыв­ ная дифференцируемость которых не имеет места на границе области О.

А Переход от уравнений (7) к уравнениям (8) задается формулами

Якобиан отображения (9) равен a2 sin ipcos ip и обращается в нуль при ip = 0, т. е. на части границы области fi'. Это приводит к тому, что при переходе к параметризации (8) частные производные функ­

ции г = \/а2 —и2 —V2 стремятся к бесконечности при приближении точки (u,v) к окружности и2 + V2 = а2. ▲

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рас­ сматриваться только такие параметризации, которые задаются не­ прерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном мно­ жестве функциями.

Рис. 52.3

по отрезку и = гщ, а ^ v ^ (5 (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении (1 ) есть кривая

лежащая на поверхности Е. Будем называть ее координатной кривой и = UQ. Придавая щ все значения из отрезка [а, Ь], получим семейство координатных кривых и = const. Аналогично строится и семейство координатных кривых v = const.

В силу взаимной однозначности отображения (1 ) каждая точка А поверхности S однозначно определяется как пересечение двух коор­ динатных кривых, и = Uq и v = vo. Пара чисел (гщ, г?о) называется кри­ волинейными координатами точки А поверхности. Запись А ( щ , у о) означает, что точка А поверхности Е задана криволинейными коор­ динатами (гщ^о).

Например, в сферических координатах часть сферы х2 + у2 + z2 = = а2, ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, зада­ ется в криволинейных координатах <р, ф следующим образом:

^ Ч> ^ ^ 2, ф± ^ ф ^ ф 2 .

На сфере координатные кривые <р = const — меридианы, а коор­ динатные кривые ф = const — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут об­ разующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция г(гщ,г?) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра г?, и, следовательно, координатная кривая и = гщ, определяемая равенством (10), является непрерывно дифференциру­ емой. Вектор r v(i&o,i?o) является касательным к этой кривой в точ­ ке А(щ,Уо). Аналогично, вектор ru(uo,vo) касателен к координатной

Указание. Воспользоваться теоремой о неявных функциях, опреде­ ляемых системой двух уравнений.

Векторы ± N = ±[ru,r„] будем называть векторами нормали к по­ верхности а в точке A(u,v).

JI е м м а 2. Вектор нормали к простой поверхности £ в точке A(UQ,VQ) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверх­ ности и проходящим через точку А(щ,Ьо).

О В самом деле, такая кривая есть образ при отображении (5) неко­ торой гладкой кривой, лежащей в области П и задаваемой уравнени­

ортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и про­ ходящей через точку А. •

Плоскость, проходящая через точку A(u,v) поверхности и орто­ гональная вектору N , называется касательной плоскостью к поверх­

следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому век­ торное уравнение касательной плоскости имеет вид

( R - r(ti,w), ru(u,v), Tv(u,vj) = 0.

В силу равенства (11) форма этого уравнения не зависит от выбо­ ра параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости в

Нормалью к поверхности в точке A(u,v) называется прямая, про­ ходящая через точку А и параллельная вектору нормали в точке А. Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняет своего направления или изменяет его на противоположное в каждой точке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее век­ торное уравнение имеет вид

518Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

Вдекартовых координатах уравнение нормали можно записать следующим образом:

X —х(и, v) _ Y —y{u,v) _ X —z(u,v)

4. Кусочно гладкие поверхности. Из определения простой по­ верхности, данного в п. 1 , следует, что она есть гладкий и взаимно однозначный образ некоторой плоской области, т. е. получается из этой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отобра­ жений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называть поверхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не мо­ жет быть непрерывным образом деформирована в плоскую область. Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформа­ цией плоской области.

Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы нас далеко в область высшей геометрии. Замечательным классом поверх­ ностей в R3 являются гладкие многообразия размерности 2, т.е. связ­ ные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точ­ ки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сфера будет гладким многообразием. Если А есть точка сферы радиуса а, то map S£(A) при £ < а вырезает из сферы простой кусок.

Хотя локально гладкие многообразия устроены просто, но в целом, глобально, они могут иметь очень сложное строение. Представьте се­ бе такие гладкие поверхности, как бублик (тор), бублик с двумя ды­ рами или еще более причудливую поверхность, которая называется

Рис. 52.4

бутылкой Клейна (рис. 52.4). Все эти многообразия можно разрезать на конечное число гладких простых поверхностей (или, что то же са­ мое, их можно склеить из конечного числа простых гладких кусков).

Из гладких кусков можно скле­ ивать не только гладкие многооб­ разия, но и связные поверхности, имеющие ребра и вершины (напри­ мер, поверхности многогранников) (рис. 52.5).

Мы не станем тут занимать­ ся математической формализацией таких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем

более основанной на этом классификации поверхностей. Заметим только, что трудности возникают при построении общих теорий. В любом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверх­ ности на простые куски. Поверхность, которую можно разрезать на конечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.

ности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сто­ рону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей на противоположное, получим опять непрерывное поле единичных нор­ мальных векторов. Говорят, что оно определяет противоположную ориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой по­ верхности всегда определено непрерывное поле единичных нормаль­ ных векторов

Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируе­ мыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).

Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клей­ на — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко постро­ ить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой, что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали к поверхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мы придем к начальной точке с противоположным направлением норма­ ли. Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное поле единичных нормальных векторов невозможно.

Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) де­ лят пространство на ограниченную и неограниченную области, общей границей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойством не обладает.

Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границей области в Я3, ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нор­ мальными векторами, направленными внутрь области (внутренни­ ми нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями.

Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границе области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной точке границы.

Каждая плоскость делит пространство Я3 на два полупространст­ ва. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, то внутренняя нормаль определяется естественным образом как направ­ ленная внутрь полупространства (рис. 52.6). Если dG есть гладкая