Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

< ti < ... < tn = (3. Ему соответствует разбиение кривой Гав точками А = Aq . 11 у ... у Ап = В.

При движении по дуге Г д^Д ; заменим силу F постоянной силой F(x(ti),y(ti), z(ti)), а движение по дуге Г д ;_ 1д ; — движением по каса­ тельной с постоянной скоростью r'(ti). Тогда работа силы при движе­ нии по дуге Г д ;_ 1д ; приближенно равна (F(x(ti), y(ti), z(ti)),r'(ti) Ati).

Работа силы при движении материальной точки по кривой Га в приближенно равна следующей сумме:

П

jzfT = ^2(F(x(ti),y(ti), z(ti)), r'(ti))Ati, i= 1

Д Пусть кусочно гладкая кривая Га в задается параметрическим уравнением г = г (t), а ^ t ^ (3. Работу силы найдем при помощи формулы (16):

аа

ластью в Я" называется открытое связное множество, а замыкание области получается присоединением к области ее границы.

Теорема Жордана утверждает, что любая простая (без точек само­ пересечения) замкнутая кривая разделяет плоскость на две области, ограниченную и неограниченную, общей границей которых она явля­ ется.

У п р а ж н е н и е 1. Доказать теорему Жордана для простой замкнутой ломаной.

У к а з а н и е . После удаления из плоскости простой замкнутой лома­ ной L возникает открытое множество, точки которого можно разбить на два непересекающихся класса. Точки первого класса обладают тем свойст­ вом, что проведенные из них лучи пересекают ломаную нечетное число раз (исключением могут быть лучи, параллельные звеньям ломаной). Точки

второго класса отличаются тем, что проведенные из них лучи пересекают ломаную четное число раз (рис. 51.1).

Область О с /?2 называется односвязнощ если для любого простого контура у С О ограничиваемая этим контуром область Oi С О. В частности, область на рис. 51.1 односвязна.

Будем говорить, что простой контур Г ориентирован положитель­ но, если при обходе контура ограничиваемая им область остается сле­ ва (рис. 51.1). Противоположно ориентированный контур будем обо­ значать через Г- .

2 . Формула Грина. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области П С /?2, а простой кусочно гладкий контур Г С Q ограничивает область G С П. Тогда справедли­

ва формула Грина

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллип­ са, треугольника.

502 Гл. XI. Криволинейные и поверхностные интегралы

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства

7/^ ( х , у ) dxdy =

При выводе формулы (2) была использована формула (14), § 50 для

криволинейного интеграла J Р dx по кривой Г, являющейся графиком

г

функции. Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам DE

Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина (1). Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкой

замкнутой кривой 8G. Предположим, что ее можно кусочно гладкой простой кривой Г (перегородкой) разбить на две области простейшего

Применяя к Gi и Ga формулу Грина для односвязной области, получаем (рис. 51.5)

где в правой части употреблено сокращенное обозначение для суммы четырех криволинейных интегралов по соответствующим кривым. Складывая эти равенства и учитывая, что криволинейные интегралы по противоположно ориентированным кривым взаимно уничтожают­ ся, получаем

f f ~ -^-jdxdy = j Р dx + Qdy + J P d x + Q dy = J P d x + Qdy.

Формально формула Грина для двусвязной области имеет тот же вид, что и для односвязной, если J Р dx + Q dy понимать как сумму

д в

криволинейных интегралов по Г и 7 “ .

Индукцией эта формула Грина обобщается и на те-связную об­ ласть:

Иногда при практическом применении формулы (4) полезно вос­ пользоваться тем,Мчтоiх w

Д Эта кривая (декартов лист), как нетрудно по­ казать, симметрична относительно прямой у — х. Поэтому можно ограничиться вычислением пло­ щади половинки листа, для которой 0 ^ t ^ 1. По­ лучаем

области G С R2 задано непрерывное векторное поле (Р (ж , у), Q(x, у)). Например, это может быть силовое поле. Возьмем в области G две произвольные точки, А(хо,уо) и В(х,у). Соединим эти две точки кусочно гладкой кривой Г ^ , лежащей в G. Вычислим интеграл

J Р dx + Q dy. Этот интеграл можно интерпретировать как работу

Г А В г

силы при движении точки по кривой Г ^ . Вообще говоря, / Р dx +

г А В

+ Qdy зависит как от точек А и В, так и от пути, по которому мы из точки А приходим в точку В. Наша цель — выяснить условия независимости величины этого интеграла (работы силы) от пути ин­ тегрирования.

Т е о р е м а 1. Следующие три условия эквивалентны: а) для любой замкнутой ломаной L С G

непрерывно дифференцируемая функция U(x,y) (потенциал поля), что

Р(ж, у) dx + Q (x, у) dy = dU ,

ОДоказательство проведем по круговой схеме: а)=>б)=>в)=>а).

1)Докажем, что а)=>б). Пусть выполнено условие а). Возьмем две произвольных точки, А и В, в области G. Соединим их ломаной L A B • Пусть Ь'АВ — любая другая ломаная, соединяющая точки А и В.

L A B

зависит только от точки Б, и, следова­ тельно, в области G определена функция

U(x,y) = J Pdx + Qdy.

L A B

Покажем, что функция U(x,y) — по­ тенциал поля. Соединим точки В(х,у) и С(х + Ах,у) отрезком В С , лежащим в

области G (рис. 51.7). Это всегда можно сделать при достаточно ма­ лом Аж, так как G — открытое множество. Тогда

^ (и(х + Аж, у) - и ( х , у)) =

Теорема 1 не дает практического способа для выяснения вопро­ са о потенциальности поля (P,Q). Для односвязной области G дока­ жем эффективный критерий, основанный на использовании формулы Грина.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы дифференцируемое в области G поле было потенциальным, необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы выполнялось условие

О Не о б х о д и мо с т ь . Пусть поле (Р(х, у), Q(x, у)) непрерывно диф­ ференцируемо и потенциально. Тогда

Так как производные дР/ду и 8Q/дх непрерывны, то смешанные производные Uxy, Uyx также непрерывны, а следовательно, равны. Условие (6) выполнено в области G.

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть поле (Р, Q) задано в односвязной облас­ ти G С R2 и выполнено условие (6).

Возьмем произвольную простую замкнутую ломаную L С G. Так как область G односвязна, то ограничиваемая ломаной L область П С

Таким образом, интеграл (7) равен нулю для любой простой замкнутой ломаной L.

Теперь нетрудно показать, что интеграл (7) равен нулю для любой замкнутой ломаной (даже имеющей точки самопересечения).

Для трехзвенной ломаной интеграл (7) всегда равен нулю, ес­ ли эта ломаная замкнута. Если три ее вершины не лежат на одной прямой, то трехзвенная ломаная будет простой и по доказанному интеграл (7) равен нулю. Если же ] все три вершины лежат на одной

^прямой, то и в этом случае, как легко видеть, интеграл равен нулю

(рис. 51.8).

То, что интеграл (7) равен нулю для любой n-звенной замкнутой ломаной, докажем индукцией по числу звеньев ломаной.

Пусть выполнено условие (6) и интеграл (7) равен нулю по любой замкнутой ломаной, число звеньев которой меньше, чем п. Покажем тогда, что криволинейный интеграл (7) равен нулю и по любой замк­ нутой n-звенной ломаной. Если ломаная L(Ai, А 2,..., А п , А \) простая, то это уже доказано. Пусть у L есть точки самопересечения. Предпо­ ложим, что два звена, A iA 2 и AkAk+i, пересекаются. Тогда либо они пересекаются в единственной точке В (рис. 51.8), либо эти два звена

^5

пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки А 1, А 2, Ak, Ak+i лежат на одной прямой (рис. 51.9).

Рассмотрим первый случай. За последующими рассуждениями проще следить по рис. 51.9. В случаях а и б ломаная L будет объеди­ нением замкнутых ломаных Ь\(В, Аь+\,..., А п, А\, В) и Ь2(В, А 2, ...

.. .,A k ,B ). Количество звеньев L\ и Ь2 меньше п. По предположению индукции интеграл (7) по каждой из этих ломаных равен нулю. Сле­ довательно, он равен нулю и по их объединению — ломаной L.

Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки А 1, Л 2, Ak, Ak+i лежат на одной прямой и отрезки A I A 2 и AkAk+i пере­ секаются. Без ограничения общности можно считать, что точка Ak лежит на отрезке A iA 2. Тогда L есть объединение замкнутых лома­ ных L 1(Ak,Ak+i,...,An,A 1,Ak) и L2(Ak,A 2,...,Ak- i , A k), имеющих меньше, чем п звеньев. Интеграл (7) по L\ и Ь2 равен нулю. Следо­ вательно, он равен нулю и по ломаной L.

Так как интеграл (7) равен нулю по любой замкнутой ломаной L С С G, то в силу теоремы 1 поле (Р, Q) будет потенциальным. •

Заметим, что условие односвязности области существенно для справедливости теоремы 2. Подтвердим это следующим примером.