Mathcad программа к задаче 2.
Задача 3.
Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ), описывающее переходный процесс нейтрально устойчивой линейной АСР (вынужденное «движение»). Построить график переходного процесса, выделяя в возмущенном «движении» вынужденные и свободные составляющие.
Передаточная
функция системы
(1).
Дифференциальное уравнение АСР, получаемое в результате обратного преобразования Лапласа для левой и правой части выражения (1)
:
(2)
Простой переходный процесс – это характеристический процесс линейной АСР или ее отдельного звена, исследуемый при подаче на вход АСР простого ступенчатого возмущения . Подставим в правую часть выражения (2) :
(3).
Полученное
выражение – есть выражение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
1-го порядка с постоянными коэффициентами
(
).
Общее решение этого уравнения можно представить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (ОЛДУ) - и частного решения неоднородного уравнения (НЛДУ) - .
Для нахождения общего решения ОЛДУ запишем характеристическое уравнение:
.
Это уравнение имеет два действительных
корня -
и
.
Зная корни характеристического уравнения,
можно записать общее решение ОЛДУ:
.
Для нахождения частного решения представим функцию правой части в виде :
,
т.е.
,
,
.
Комплексное число
,
которое в нашем случае есть
совпадает с одним из корней
характеристического уравнения, а именно
с корнем
,
имеющим кратность
.
Следовательно, частное решение НЛДУ:
.
Для определения значение постоянной А подставим полученное частное решение в дифференциальное уравнение (3):
,
то есть
.
Тогда общее решение НЛДУ, описывающее простой переходный процесс в АСР
.
Значение
коэффициентов
должно быть найдено из начальных условий.
Отметим, что в условии задачи не
оговаривались начальные условия. Для
решения НЛДУ, описывающего характеристический
переходный процесс в линейной АСР, эти
условия всегда нулевые по функции и
всем актуальным для этого уравнения
производным. Таков принцип анализа АСР
в линейной теории автоматического
регулирования, следующий из суперпозиции
переходных процессов по отдельным
возмущениям. Из нулевых начальных
условий получаем
Таким
образом, функция, описывающая простой
переходный процесс в исследуемой АСР
,
при этом функция, описывающая свободное
движение -
,
а функция, описывающая вынужденное
движение -
.
Сгруппируем слагаемые
Переходный
процесс, характерный для данной АСР
имеет в своей структуре «зависающую
горизонталь», обусловленную нулевым
корнем характеристического уравнения.
Эта «зависающая» компонента свободного
движения в простом переходном процессе
будет давать ненулевую установившуюся
ошибку регулирования. Отметим, что
поскольку в задаче рассматривается
система с интегрированием по отношению
к управлению в замкнутом состоянии (или
астатическое звено), простой переходный
процесс без ошибки предполагал бы в
пределе «движение» системы по закону
.
Но в нашем случае в пределе выделяется
ошибка по отношению к данному закону,
равная
.
В таких случаях говорят, что АСР нейтрально устойчива.
Построим график простого переходного процесса в данной АСР, выделяя свободную и вынужденную составляющую, для чего воспользуемся программой MATHCAD.
