3. Экспериментальная часть
В начальной точке координатами (2;2;2) проведем 20 экспериментов, определим оценку дисперсии.
Таблица 1 – Оценка дисперсии
|
|
х1 |
х2 |
х3 |
|
|||||
|
|
2,00 |
2,00 |
2,00 |
|
|||||
у1 |
33,16400 |
|
|
|
|
|
|
|||
у2 |
29,20000 |
|
|
|
|
|
|
|||
у3 |
32,63600 |
|
|
|
|
|
||||
у4 |
32,90000 |
|
|
|
|
|
||||
у5 |
33,16400 |
|
|
|
||||||
у6 |
33,42900 |
|
|
|
||||||
у7 |
31,05000 |
|
|
|
||||||
у8 |
34,22100 |
|
|
|
||||||
у9 |
30,25700 |
|
|
|
||||||
у10 |
33,16400 |
|
|
|
|
|
|
|||
у11 |
31,57900 |
|
|
|
|
|
|
|||
у12 |
32,90000 |
|
|
|
|
|
||||
у13 |
29,46400 |
|
|
|
||||||
у14 |
30,25700 |
|
|
|
|
|
|
|||
у15 |
30,78600 |
|
|
|
|
|
|
|||
y16 |
29,20000 |
|
|
|
|
|
|
|||
y17 |
32,90000 |
|
|
|
|
|
|
|||
y18 |
33,16400 |
|
|
|
|
|
|
|||
y19 |
33,42900 |
|
|
|
|
|
|
|||
y20 |
33,95700 |
|
|
|
|
|
|
|||
уср |
32,04110 |
|
|
|
|
|
|
|||
σ |
1,65 |
|
|
|
|
|
|
|||
где
2
– дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
n– число экспериментов.
Абсолютная погрешность
Δx=(диапазон изменения х/100%)*класс точности
Класс точности промышленного прибора 0,5
Δx=(5-(-5))/100)*0,5=0,05
Δx≥0,05
Соответственно шаг h должен быть больше hmin=0,05.
Пусть число повторений в процессе проведения эксперимента равно пяти. Чем больше количество экспериментов, тем выше точность решаемой задачи, но большое количество экспериментов влечет за собой увеличение стоимости исследуемого процесса.
3. 1 Метод Гаусса-Зайделя.
Из начальной точки
(2; 2; 2) с уср=
32,0411
ищем
минимум критерия оптимальности по
переменной х1. Используем прием
последовательного сканирования, т.е.
«шагаем» до первого лучшего значения
критерия, применяя алгоритм х1i+1=хi1
h,
где h
– шаг. Знак «+» или «-» выбирается в
зависимости от направления изменения
критерия: нужно взять такой знак, при
котором критерий уменьшается.
Возьмем в первом цикле нашего поиска h=1.
Таблица 2 – Первый цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
2 |
2 |
2 |
31,050 |
32,900 |
29,729 |
33,429 |
32,636 |
32,0411 |
3 |
2 |
2 |
52,314 |
50,993 |
52,579 |
55,221 |
50,464 |
52,3141 |
1 |
2 |
2 |
17,900 |
15,786 |
16,314 |
15,257 |
14,200 |
15,8912 |
0 |
2 |
2 |
10,221 |
7,314 |
9,957 |
6,521 |
7,050 |
8,2133 |
-1 |
2 |
2 |
6,429 |
4,843 |
6,429 |
5,634 |
4,314 |
5,5302 |
-2 |
2 |
2 |
6,786 |
5,464 |
6,521 |
8,636 |
7,050 |
6,8914 |
-1 |
3 |
2 |
0,964 |
2,550 |
3,871 |
1,757 |
1,493 |
2,1270 |
-1 |
4 |
2 |
1,386 |
0,064 |
0,593 |
0,857 |
1,914 |
0,9631 |
-1 |
5 |
2 |
1,086 |
1,614 |
1,879 |
4,257 |
1,879 |
2,1434 |
-1 |
4 |
3 |
5,857 |
9,821 |
8,764 |
7,179 |
8,764 |
8,0775 |
-1 |
4 |
1 |
-0,821 |
-1,086 |
1,293 |
-2,407 |
-1,350 |
-0,8884 |
-1 |
4 |
0 |
0,029 |
-3,936 |
-1,293 |
0,821 |
-3,671 |
-2,0202 |
-1 |
4 |
-1 |
1,293 |
0,764 |
-3,200 |
-1,086 |
1,821 |
-0,4252 |
Наилучшая точка в первом цикле получилась (-1, 4, 0). Далее из нее продолжаем поиск с шагом h=0,5.
Таблица 3 – Второй цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
-1 |
4 |
0 |
0,029 |
-3,936 |
-1,293 |
0,821 |
-3,671 |
-2,0201 |
-1,5 |
4 |
0 |
-1,429 |
-6,186 |
-1,693 |
-5,921 |
-5,657 |
-4,8645 |
-2 |
4 |
0 |
-3,236 |
-5,614 |
-4,821 |
-6,671 |
-7,200 |
-6,0772 |
-2,5 |
4 |
0 |
--5,657 |
-1,693 |
-6,186 |
-1,429 |
-5,657 |
-3,7416 |
-2 |
4,5 |
0 |
-7,075 |
-7,604 |
-4,696 |
-6,546 |
-6,811 |
-6,4144 |
-2 |
5 |
0 |
-7,857 |
-6,536 |
-8,650 |
-5,479 |
-7,857 |
-7,1316 |
-2 |
5 |
0,5 |
-9,193 |
-8,400 |
-8,929 |
-9,457 |
-6,550 |
-8,3342 |
-2 |
5 |
1 |
-5,271 |
-8,443 |
-6,593 |
-4,479 |
-7,121 |
-6,6594 |
Наилучшая точка во втором цикле получилась -2; 5; 0,5. Далее из нее продолжаем поиск с шагом h=0,2.
Таблица 4 – Третий цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
-2 |
5 |
0,5 |
-9,193 |
-8,400 |
-8,929 |
-9,457 |
-6,550 |
-8,3344 |
-2,2 |
5 |
0,5 |
-9,937 |
-8,351 |
-8,087 |
-6,501 |
-5,709 |
-7,1627 |
-1,8 |
5 |
0,5 |
-6,359 |
-9,001 |
-6,887 |
-6,623 |
-6,887 |
-7,3506 |
-2 |
4,8 |
0,5 |
-8,317 |
-4,617 |
-8,845 |
-7,788 |
-4,881 |
-6,5336 |
-2 |
5 |
0,7 |
-8,953 |
-7,896 |
-9,481 |
-7,631 |
-5,253 |
-7,5653 |
-2 |
5 |
0,3 |
-9,881 |
-5,653 |
-7,767 |
-6,710 |
-6,974 |
-6,7764 |
Получили точку (-2; 5; 0,5) с критерием у=-8,3344. На этом этапе эксперимент может быть завершен, т.к. не наблюдается изменение критерия оптимальности и ни по одной из переменных не удается получить лучшее значение. Данная точка является решением поставленной задачи.
Для того, чтобы определить, является ли найденный экстремум локальным или глобальным, возьмем новую начальную точку и проведем эксперимент.
Вторая точка (-2; -2; -2). Возьмем в первом цикле нашего поиска h=1.
Таблица 5 – Первый цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
-2 |
-2 |
-2 |
30,257 |
29,464 |
33,693 |
31,579 |
29,729 |
30,9444 |
-1 |
-2 |
-2 |
15,257 |
18,429 |
15,521 |
14,993 |
15,257 |
15,8914 |
0 |
-2 |
-2 |
5,200 |
5,993 |
6,786 |
8,900 |
9,164 |
7,2086 |
1 |
-2 |
-2 |
7,221 |
3,786 |
2,200 |
2,993 |
4,050 |
4,0500 |
2 |
-2 |
-2 |
7,843 |
7,579 |
6,257 |
8,371 |
5,200 |
7,0500 |
1 |
-1 |
-2 |
7,736 |
6,943 |
5,621 |
6,943 |
5,886 |
6,6258 |
1 |
-3 |
-2 |
5,457 |
4,400 |
0,700 |
3,871 |
3,343 |
3,5542 |
1 |
-4 |
-2 |
0,329 |
4,293 |
1,650 |
0,593 |
2,971 |
1,9672 |
1 |
-5 |
-2 |
1,086 |
4,257 |
-0,500 |
4,521 |
3,729 |
2,6186 |
1 |
-4 |
-3 |
8,764 |
4,800 |
6,914 |
9,293 |
5,857 |
7,1256 |
1 |
-4 |
-1 |
1,293 |
0,500 |
-2,407 |
-3,200 |
-0,557 |
-0,8742 |
1 |
-4 |
0 |
-1,557 |
-0,235 |
-3,407 |
-0,500 |
-4,200 |
-1,9798 |
1 |
-4 |
1 |
-2,671 |
-1,614 |
-1,879 |
-2,143 |
1,557 |
-1,3500 |
Наилучшая точка в первом цикле (1; -4; 0). Далее из нее продолжаем поиск с шагом h=0,5.
Таблица 6 – Второй цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
1 |
-4 |
0 |
-1,557 |
-0,235 |
-3,407 |
-0,500 |
-4,200 |
-1,9798 |
1,5 |
-4 |
0 |
-2,486 |
-4,864 |
-1,693 |
-4,600 |
-6,186 |
-3,9658 |
2 |
-4 |
0 |
-4,293 |
-5,614 |
-2,707 |
-5,350 |
-6,671 |
-4,9270 |
2,5 |
-4 |
0 |
-1,957 |
-4,600 |
-4,864 |
-1,429 |
-3,014 |
-3,1728 |
2 |
-4,5 |
0 |
-6,811 |
-4,432 |
-8,132 |
-5,754 |
-4,696 |
-5,965 |
2 |
-5 |
0 |
-5,743 |
-8,386 |
-8,650 |
-7,593 |
-8,121 |
-7,6986 |
2 |
-5 |
0,5 |
-7,079 |
-8,400 |
-6,021 |
-5,757 |
-9,986 |
-7,4486 |
2 |
-5 |
-0,5 |
-8,136 |
-9,457 |
-8,400 |
-9,721 |
-8,929 |
-8,9286 |
2 |
-5 |
-1 |
-5,536 |
-6,329 |
-4,743 |
-4,479 |
-9,236 |
-6,0646 |
Наилучшая точка во втором цикле получилась (2; -5; -0,5). Далее из нее продолжаем поиск с шагом h=0,2.
Таблица 7 – Третий цикл
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
у4 |
у5 |
уср |
2 |
-5 |
-0,5 |
-8,136 |
-9,457 |
-8,400 |
-9,721 |
-8,929 |
-8,9286 |
2,2 |
-5 |
-0,5 |
-8,616 |
-7,294 |
-10,201 |
-5,973 |
-10,466 |
-8,51 |
1,8 |
-5 |
-0,5 |
-5,566 |
-4,509 |
-5,301 |
-6,094 |
-6,887 |
-4,394 |
2 |
-4,8 |
-0,5 |
-4,617 |
-5,409 |
-5,145 |
-4,617 |
-9,109 |
-5,7794 |
2 |
-5 |
-0,7 |
-10,010 |
-6,046 |
-7,367 |
-8,160 |
-8,953 |
-8,1072 |
2 |
-5 |
-0,3 |
-8,031 |
-8,824 |
-7,503 |
-5,917 |
-6,181 |
-7,2912 |
Наилучшая точка в третьем цикле получилась (2; -5; -0,5). На этом этапе эксперимент может быть завершен, т.к. не наблюдается изменение критерия оптимальности и ни по одной из переменных не удается получить лучшее значение.
В результате проведения экспериментов мы получили две разные точки с координатами (-2; 5; 0,5) и (2; -5; -0,5) с критериеями оптимальности у=-8,3344 и у=-8,9286, поэтому можно предположить, что мы попали в локальный экстремум.