Розрахунок стандартного відхилення оцінки у загальному випадку виконують за формулою

.

Формули для довірчих границь мають такий вигляд:

середнє значення для генеральної сукупності:

;

сумарне значення для генеральної сукупності:

.

Коли кожний шар забезпечує невелике число степенів свободи, то в наведених формулах замість квантіля нормального розподілу використовують квантіль розподілу Стьюдента з число степенів свободи, що визначається рівняннями

;

.

Вибір оптимального розшарування вибірки. За розшарованим відбором розміри вибірок в шарах визначає обстежувач. Їх можна обрати так, щоб мінімізувати дисперсію за встановленими витратами на отримання вибірки або мінімізувати витрати за встановленою величиною дисперсії .

У випадку мінімізації дисперсії найпростіша функція витрат має вигляд

.

Для кожного шара витрати пропорційні розміру вибірки, але витрати на одну одиницю, , можуть змінюватися від шара до шару. Складова відповідає базовим витратам. Така функція виправдана, якщо основну частину витрат складають витрати на вимірювання кожної одиниці. Якщо ж суттєву частину витрат складають витрати на переміщення від одної одиниці до другої, то путьовим витратам більше відповідає вираз , де - путьові витрати на одиницю. Обмежуючись лінійною функцією витрат оптимальне розміщення вибірки можна знайти у вигляді

.

Звідси витікають такі правила відбору. В даному шарі беріть вибірку більше, якщо:

1. розмір шара більше;

2. в шарі більше варіація параметра;

3. відбір у шарі коштує дешевше.

Щоб завершити розміщення вибірки, залишається визначити розмір розшарованої вибірки в цілому. Це визначення залежить від того, що є бажанім – забезпечити певні загальні витрати або певну величину дисперсії . У першому випадку розмір вибірки визначається як

.

У другому випадку розрахункова формула має вигляд

.

Важливий окремий випадок виникає, коли , тобто коли витрати у розрахунку на одиницю однакові. Тоді оптимальне розміщення зводиться до оптимального розміщення за незмінним розміром вибірки . За розшарованим випадковим відбором з незмінним загальним розміром вибірки стандартне відхилення є мінімальним, якщо

.

Відповідне мінімальне значення стандартного відхилення оцінки розраховується за формулою

.

Формули визначення розміру розшарованої вибірки для оцінки . Вважається, що оцінка має задану величину дисперсії. Якщо замість неї заданим є стандартне відхилення або коефіцієнт варіації , то можна скористатися рівністю .

А) Довільне розміщення вибірки: , де обрані довільно.

.

Б) Оптимальне розміщення вибірки (при постійному ).

.

В) Пропорційне розміщення вибірки: .

; .

Формули визначення розміру розшарованої вибірки для оцінки .

А) Довільне розміщення вибірки: , де обрані довільно.

.

Б) Оптимальне розміщення вибірки (при постійному ).

.

В) Пропорційне розміщення вибірки: .

; .

Оцінка величини індикатора (частка одиниць, що мають певну ознаку або належать певному класу) розраховується за формулою

,

де є відповідною часткою одиниць в шарі з номером .

Стандартне відхилення оцінки визначається з рівняння

,

а при використанні пропорційного розміщення вибірки розраховується за рівнянням

.

Оцінка сумарної кількості одиниць, що належать певному класу розраховується за формулою ; стандартне відхилення оцінки за будь-яким розміщенням вибірки визначається рівнянням .

Оцінка відсотка одиниць, що належать певному класу, розраховується за формулою ; стандартне відхилення оцінки для будь-якого розміщення вибірки визначається рівнянням .

Розрахунок розміру розшарованої вибірки для оцінки частки .

Вважаємо заданою величину дисперсії . Формули для двох основних типів розміщення мають наступний вид.

А) Пропорційне розміщення:

; .

Б) Оптимальне розміщення (при постійному ):

; .

Звичайно, наведені вище формули відносяться до генеральних сукупностей скінченого розміру . Але вони легко узагальнюються на сукупності нескінченого розміру. У такому випадку замість кількості одиниць генеральної сукупності та кількості , ,..., одиниць в шарах достатньо використовувати міри їх розмірів, такі як тривалість часу, довжина, площа, об’єм тощо.

Робочий приклад 5. На трьох полях площею =5га, =10га і =15га перед сбором урожаю проведена оцінка урожаності. Для цього на кожному полі випадковим чином обрано =20 маленьких ділянок площею 1м² кожна, де визначено вагу зерна. Загальний розмір вибірки склав . Після обробки даних спостережень на кожному полі окремо за методикою простого випадкового відбору отримані наступні результати:

оцінки середньої урожайності - =50ц/га, =35ц/га, =20ц/га;

стандартної похибки оцінок - =5ц/га, =2,5ц/га, =2ц/га.

З використаннім наведених даних:

1) надайте оцінку середньої урожайності лана площею = + + =30га, що складається з трьох полів, за методикою розшарованої вибірки і оцінку за методикою простої вибірки;

2) розрахуйте стандартну похибку розшарованої оцінки і визначіть довірчі границі для дійсної величини урожаності лана;

3) визначіть оптимальне розшарування виборки за умови постійного розміру =60.

Розрахунки:

1) Кількість можливих одиниць відбору, які можуть скласти розшаровану вибірку, настільки велика, що доцільно обрати мірою величини шарів саме площі полів. Тому приймемо , , . Тоді розрахунок середньої урожайності за розшаруванням є

=30ц/га,

а розрахунок середньої урожайності за вибірковим середнім є

=35ц/га.

2) Формулу для розрахунку стандартної похибки за розшаруванням також трансформуємо з урахуванням обраної міри величини шарів, а саме:

=0,346ц/га.

Напівширину довірчого інтервалу розраховуємо за формулою =0,678ц/га. Таким чином, дійсна величина середньої урожайності лана знаходиться в мєжах від - =29,3ц/га до + =30,7ц/га.

3) Оптимальне розшарування вибірки за умови її постійного розміру =60 також визначаємо за допомогою модифікованого рівняння

,

що дає, коли послідовно індексу надавати значення 1, 2, 3: =18,75 19; =18,75 19; =22,5 23.