Довірчий інтервал визначається нерівністю

.

Зауважимо, що у випадках відсутності інформації щодо дійсної величини , рекомендують замінювати її вибірковою оцінкою .

Якщо розмір генеральноі сукупності великий у порівнянні з розміром вибірки, то формула для стандартного відхилення спрощується до вигляду

.

Робочий приклад 3. Дослідника цікавить, яка площа поверхні листя з дерева, що забезпечує фотосинтез, приходиться на одиницю ваги листя, тому що вимірювати вагу значно легше, ніж визначати площу поверхні. Тому він вилучае випадкову вибірку розміром =20 листів і визначає вагу і площу поверхні, які наведені в табл. 1.

Таблиця 2.1

Дані вимірювань ваги і площі поверхні листів у вибірці

,г	0,64	0,78	0,83	0,7	0,9	0,39	0,38	0,66	0,3	0,29
,см2	65	64	84	58	101	28	51	52	25	26
,г	1,13	1,1	0,43	0,61	0,83	0,65	0,8	1,05	0,83	0,77
,см2	127	110	49	54	84	62	82	111	81	62

Отримані наступні результати обробки даних:

=97,9 см²/г; =0,702 г; =2,84 см²/г; =2.11,

що дозволяе стверджувати, що відношення загальної площі листя до його загальної ваги на дереві знаходиться в межах від 92 см²/г до 104 см²/г. Тепер дослідник може визначити загальну площу листя дерева, якщо його просто зважить.

Оцінка частки елементів сукупності, що належать певній групі.

Інколи бажано оцінити загальну кількість , частку або відсоток одиниць сукупності, що мають певну ознаку, властивість або відносяться до певного класу одиниць. Наприклад, така класифікація може бути внесена до форми реєстрації даних спостережень шляхом постановки питань, на які потрібно відповідати простими “так” чи “ні”. В інших випадках результати вимірювань мають більш або менш непреривний характер і класифікація проводиться за зведенням і групуванням даних спостережень. Такий індикатор стану системи буде доцільним, коли, наприклад, метою обстеження є визначення відсотка дерев певного виду в лісовому масиві тощо.

Визначення і розрахунок величини такого індикатора зводиться до наведених вище визначень і розрахунків, якщо у якості вимірюваного параметра прийняти параметр, що набуває лише два значення:

За таким параметром дійсні величини вказаних індикаторів для генеральної сукупності скінченого розміру визначаються за формулами

; ; .

Вибіркові оцінки , і відповідних параметрів розраховують за формулами

; ; .

Формули для розрахунку стандартних відхилень оцінок параметрів мають вигляд:

; ; .

Величини коефіцієнтів варіації оцінок розраховуються за формулами

,

а у випадку генеральної сукупності великого розміру за формулами

.

З розгляду останньої формули витікає, що для будь-якого рідкісного явища з імовірностю появи і, відповідно, часткою спостерігання близькою до нуля, коефіцієнт варіації оцінки необмежено зростає. Ця обставина не дозволяє завжди користуватися законом нормального розподілу імовірностей для визначення довірчих границь для оцінок таких індикаторів. Лише у випадках, позначених в табл. 1, можливо застосовувати нормальний розподіл для визначення довірчого інтервалу, а саме:

;

;

;

,

де є квантіль нормального розподілу, що відповідає рівню значущості .

Таблиця 1