2.2.4. Одноступеневий гніздовий (кластерний) відбір.

В деяких обстеженнях доцільно обирати одиниці відбору - гнізда, що вміщують декілька елементів генеральної сукупності кожна. Застосування гніздового (кластерного) відбору обумовлене двома головними причинами. Хоча, здавалося б, в якості одиниць відбору краще прийняти самі елементи, трапляється, що для багатьох обстежень достовірного списка елементів сукупності не існує, а складання такого списка обійшлося б надто дорого. Навіть коли такий список є в наявності, економічні міркування можуть диктувати обрання більш крупних одиниць відбору – гнізд. Наприклад, неможливо скласти список усіх особин молюсків, що населяють водоймище. Але з використанням мапи дно водоймища для обстеження може бути розподілене на територіальні одиниці – гнізда з легко ідентифікуємими границями. Сукупність таких гнізд дозволяє досить просто прийняти рішення щодо побудови списку одиниць відбору.

За даним відбором малі одиниці відбору за звичай забезпечують більш точні результати, ніж більші одиниці. Наприклад, проста випадкова вибірка розміром 600 домів розподілена по місту більш рівномірно, ніж 20 міських кварталів, що вміщують в середньому по 30 домів кожен. Але визначення знаходження 600 домів і переїзди поміж ними потребують більших витрат у порівнянні з визначенням місцезнаходження 20 кварталів і обстеженням усіх домів у цих кварталах. Коли разом з точністю враховуються і витрати, то більш крупні одиниці можуть виявитися більш доцільними.

Оцінка середнього на елемент генеральної сукупності.

Позначимо через:

- значення параметра у -го елемента з -го гнізда;

- кількість гнізд, з яких складається генеральна сукупність;

- кількість гнізд у вибірці для обстеження;

- кількість елементів в гнізді (вважається однаковою в різних гніздах).

За гніздовим відбором слід розрізняти оцінку середнього на гніздо

і оцінку середнього на елемент

.

Величина дисперсії параметра між елементами визначається за рівнянням

.

Стандартне відхилення оцінки середнього на елемент розраховується за формулою

.

Оцінка величини індикатора (частка одиниць, що мають певну ознаку або належать певному класу) розраховується за формулами

;

.

де

Стандартне відхилення оцінки визначається рівнянням

.

Щоб отримати розмір вибірки , необхідний для гніздового відбору, спочатку оцінюють розмір вибірки за формулою, що відповідає біноміальному розподілу, а потім його домножують на дріб

.

Гніздові одиниці різного розміру. Існує декілька способів оцінки сумарних і середніх значень параметрів для сукупності, коли одиниці відбору вміщують різну кількість елементів. Хай - кількість елементів в -ї одиниці (гнізді). У будь-якому випадку спостерігач має бути певним, що йому відомі значення , що необхідні для розрахунку бажаної оцінки. В одних випадках ці значення можуть бути відомі до проведення обстеження, а в інших – визначаються для одиниць, що потрапили у вибірку.

Оцінка сумарного значення величин за простою випадковою вибіркою розміром в гніздових одиниць.

Позначимо сумарне значення параметра для -ї одиниці через

.

Бажана оцінка розраховується за рівнянням

.

Стандартне відхилення цієї оцінки є

,

де є оцінкою середнього на одиницю для сукупності.

Часто виявляється, що така оцінка має невелику точність через те, що (середнє на елемент в -му гнізді) мало змінюється від елемента до елемента, а змінюється значно. Тоді також значно змінюється від одиниці до одиниці, що робить великим стандартне відхилення. У таких випадках краще застосовувати оцінку за відношенням:

,

де є загальна кількість елементів в сукупності, що спостерігається.

Стандартне відхилення в такому разі визначається співвідношенням

.

Зауважимо, що оцінка середнього на елемент

не потребує інформації щодо загальної кількості елементів в сукупності.

Оцінка потрібного розміру гніздової вибірки виконується аналогічно попередньому визначенню. Спочатку розраховується розмір виборки за формулою, що відповідає біноміальному розподілу простої випадкової вибірки розміром , , а потім ця величина домножується на дріб

.

Якщо усі кількості елементів в усіх одиницях сукупності відомі, то рекомендується вилучати одиниці з сукупності з імовірностями, що пропорційні розміру . Надамо ілюстрацію такого способу відбору на простому прикладі невеликої сукупності, що складається з семи одиниць

Таблиця 3

Характеристики модельної сукупності

Порядковий номер одиниці	Розмір одиниці	Кількість елементів за зростанням номеру	Інтервал накопичуваних значень розміру
1	3	3	1-3
2	1	4	4
3	11	15	5-15
4	6	21	16-21
5	4	25	22-25
6	2	27	26-27
7	3	30	28-30

Підраховують накопичувані суми та записують відповідні інтервали накопичених значень розміру. Для того, щоб вилучити одиницю, беремо випадкове ціле число з інтервалу від 1 до 30: припустимо, що їм трапилось число 19. Воно потрапляє в в інтервал накопиченої суми, що відповідає 4-й одиниці і вміщує значення цієї суми від 19 до 21 включно. За таким способом відбора імовірність того, що будь-яка одиниця вилучається, є пропорційною розміру цієї одиниці. Якщо треба вилучити ще одну одиницю, то наведений процес повторюється. Береться нове випадкове число поміж 1 і 30. Але, на відміну від розглянутих раніше способів, повторне вилучення 4-ї одиниці не заборонено (відбір з поверненням).

Інколи точні розміри одиниць не є відомими але є відомими оцінки або характеристики цих розмірів. Тоді оцінка сумарного значення параметра виконується за формулою

,

де і . Стандартне відхилення такої оцінки розраховують за формулою

.

Робочий приклад 6. Садівничий, що доглядає за станом персикових дерев, бажає знати, як можуть вплинути весняні заморозки на урожай персикового сада. Сад має прямокутну форму в 40 рядів по 20 дерев в ряду. Оглянути ретельно усі =800 дерев неможливо. Фахівець пропонує застосувати вибіркове обстеження. Садівничий погоджується, але, у зв’язку з обмеженими коштами, обрана загальна кількість дерев для обстеження, що дорівнює =20. У вибірку дерева були включені згідно правил простої випадкової вибірки. У кожного дерева була підрахована загальна кількість зав’язів. Результати обстеження дерев наведені у таблиці.

Таблиця

Кількість зав’язів на деревах ( -номер дерева)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	5	7	12	11	8	10	13	12	3	6
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	8	9	14	12	10	9	8	14	12	7

Треба надати прогноз щодо загальної кількості персиків в саду на сезон їх сбору.

Розрахунок починаємо з вибору метода аналіза ситуації. Кожне дерево в саду можемо розглядати як гніздо, що містить різну кількість зав’язів (елементів сукупності). Загальна кількість гнізд =800, а випадкову вибірку складають =20 гнізд. Тому застосовуємо метдику розрахунку на випадок гніздових одиниць різного розміру.

Оцінка загальної кількості зав’язів в саду

=7600.

Оцінка середньої на одно дерево кількості зав’язів в саду

=9,5.

Стандартне відхилення оцінки є

=536.

Напівширина довірчого інтервалу =1122.

Таким чином, прогнозована кількість персиків в саду на сезон їх сбора складає приблизно від 6500 до 8700 штук.