Поясніть про що дізнаємося кожною дією. ( В першій дії поділили загальну масу сіна на кількість вівець, тому отримали масу сіна для 1 вівці на 3 дні.) Це можна показати стрілочкою і дужкою на короткому записі:

:

3 дні, 6 вів. – 36 кг

1День , 1 вів. - ? кг

• Про що дізналися другою дією? ( Другою дією відповіли на запитання задачі і знайшли масу сіна для 1 вівці на 1 день.)

• Чим цікава ця задача? (Вона розв”язується двома способами.) Чим відрізняються ці способи? ( Першою дією. В першому способі ми дізналися про масу сіна на 1 день для 6 вівець. А в другому – про масу сіна на 3 дні для 1 вівці.) Що в них спільного? ( Другою дією відповіли на запитання задачі – знайшли масу сіна для 1 вівці на 1 день.)

• Що ж ще спільного є в цих способах міркування? В першій дії ми знайшли величину однієї одиниці ( чи на 1 день для 6 вівець; чи на 3 дні для 1 вівці. В другій дії ми також знайшли величину однієї одиниці – на 1 день для 1 вівці. Таким чином, в цій задачі ми двічі наводили до одиниці.

На етапі закріплення, учням пропонується кілька задач (до речі, їх бракує у підручнику М.В.Богдановича “Математика 3(2)”, Київ, “Освіта”, 1997) даного виду; діти спочатку складають короткий запис задачі, потім порівнюють його з опорною ( вище розглянутою) задачею і роблять висновок, що дана задача такого ж самого виду – на подвійне наведення до одиниці, вона розв”язується двома способами ( ставлять стрілочки і дужки) і розповідають план розв”язування за кожним з них. Наприклад:

:

4 дні, 6 кор.. – 48 кг

1День , 1 кор. - ? кг

1 спосіб. Першою дією дізнаємося масу силосу для 6 корів на 1 день. Другою дією дізнаємося про масу силосу для 1 корови на 1 день.

2 спосіб. Першою дією дізнаємося про масу силосу для 1 корови на 4 дні. Другою дією дізнаємося про масу силосу для 1 корови на 1 день.

Через три уроки пропонується ознайомлення учнів з задачами на подвійне зведення до одиниці П виду. Розглянемо методику введення таких задач:

Задача 1. ( 1 вид) В зоопарку за 3 дні 5 моржам дали 30 кг риби. Скільки кілограмів риби треба 1 моржу на 1 день?

Це задача відомого виду, учні впізнають її і розв”язують самостійно:

:

3 Дні, 5 морж.. – 30 кг

1День , 1 морж. - ? кг

1 спосіб. Першою дією дізнаємося масу риби для 5 моржів на 1 день. Другою дією дізнаємося про масу риби для 1 моржа на 1 день.

2 спосіб. Першою дією дізнаємося про масу риби для 1 моржа на 3 дні. Другою дією дізнаємося про масу риби для 1 моржа на 1 день.

Р озв”язання:

1 спосіб: :

1. 30 : 3 = 10 ( кг) риби 5 моржам на 1 день.

2. 10 : 5 = 2 ( кг) риби 1 можу на 1 день.

П спосіб: :

1. 30 : 5 = 6 (кг) риби 1 можу на 3 дні.

2. 6 : 3 = 2 (кг) риби 1 моржу на 1 день.

Відповідь: 2 кг риби 1 моржу на 1 день.

Далі учням пропонується скласти обернену задачу, в якій запитувалось про масу риби для 5 моржів на 3 дні.

Задача 2. ( П вид). На 1 день 1 можу дають 2 кг риби. Скільки кілограмів риби дадуть 5 моржам за 3 дні?

1день , 1 морж. – 2 кг

3 дні, 5 морж.. – ? кг

• За коротким записом поясніть числа задачі. Повторіть запитання задачі.

• П

  1день , 1 морж. – 2 кг

  3 дні, 5 морж.. – ? кг

  орівняйте цю задачу з попередньою. Що цікавого ви помітили? ( Короткі записи однієї структури.) Отже ця задача також розв”язується двома способами. Поставте стрілочку і розкажіть план розв”язування за 1 способом:

1день , 1 морж. – 2 кг

3 дні, 5 морж.. – ? кг

Другий спосіб. Першою дією дізнаємося, скільки кілограмів риби потрібно на 1 день 5 моржам. Другою дією відповімо на запитання задачі, і дізнаємося про масу риби на 3 дні для 5 моржів.

Розв”язання:

1 спосіб.

1. 2 * 3 = 6 (кг) риби для 1 моржа на 3 дні

2. 6 * 5 = 30 ( кг) риби для 5 моржів на 3 дні.

П спосіб.

1) 2 * 5 = 10 ( кг) риби на 1 день для 5 моржів.

2) 10 * 3 = 30 ( кг) риби на 3 дні для 5 моржів.

• Порівняйте розв”язки цих задач. Чим вони відрізняються? ( Перша задача розв”язується двома діями ділення, а друга задача – двома діями множення.)

• Ви сказали, що ці задачі мають схожі короткі записи, тому вони відносяться до одного виду. Але перша задача розв”язується двома арифметичними діями ділення, а друга – двома арифметичними діями множення. Тому, щоб розрізнити такі задачі, говорять, що перша задача – це задача першого виду, а друга задача – це задача другого виду.

На етапі закріплення учні розв”язують задачі з підручника:

№ 1093.Доїльним апаратом доярка за 1 годину видоює 15 корів. Скільки корів видоют 3 доярки такими апаратами за 2 години?

№ 1103. В зимку корові дають на день 6 кг буряку. Скільки потрібно буряку 3 коровам на 5 днів?

№ 1109 . В зимку вівці дають на день 2 кг силосу. Скільки потрібно силосу 6 вівцям на тиждень? ( Порівняй з № 1103)

№ 1140. Порція солі на добу для однієї корови 70 г. Скільки сілі потрібно двом коровам на тиждень?

Прочитавши задачі діти складають їх короткий запис, визначають вид задачі; роблять висновок про два способи розв”язання; ставлять стрілочки і розв”язують задачі двома способами. Після розв”язання по діях з поясненням, записують розв”язок виразом.

Що стосується роботи над задачею після її розв”язання, то учні складають обернені задачі: задачу 1 виду перетворюють в задачу П виду і навпаки.

В 4(3) класі учні знайомляться з складнішими задачами на подвійне зведення до одиниці. Розглянемо методику введення таких задач.

Задача №728 ( М.В.Богданович. Математика 4(3).Київ, “Освіта”, 1995). (Підготовча). Два трактори за 4 год роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за одну годину?

Учні розв”язуюють цю задачу самостійно:

Ц е задача відомого виду, учні впізнають її і розв”язують самостійно:

:

4 год., 2 тр. – 200 л

1 год. , 1 тр. - ? л

1 спосіб. Першою дією дізнаємося об”єм бензину для 2 тракторів на 1 год. Другою дією дізнаємося про об”єм бензину для 1 трактора на 1 годину.

2 спосіб. Першою дією дізнаємося про об”єм бензину для 1 трактора на 4 години. Другою дією дізнаємося про об”єм бензину для 1 трактора на 1 годину.

Р озв”язання:

1 спосіб: :

3. 200 : 4 = 50 ( л) бензину 2 тракторам на 1 годину.

4. 50 : 2 = 25 ( л) бензину 1 трактору на 1 годину.

П спосіб: :

1. 200 : 2 = 100 (л) бензину 1 трактору на 4 години.

2. 100 : 4 = 25 (л) бензину 1 трактору на 1 годину.

Відповідь:. 25 л бензину витратить 1 трактор за 1 годину.

Далі вчитель продовжує задачу:

Задача 2.( Складніша.) Два трактори за 4 години роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за 5 годин?

:

4 год., 2 тр. – 200 л

5 год. , 1 тр. - ? л

Порівнюють цю задачу з попередньою і встановлюють, що вона є її продовженням. Отже ця задача також має два способи розв”язання. Ставимо стрілочку і проводимо аналітичний пошук розв”язання, згідно першому способу:

• Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі “ Скільки бензину треба 1 трактору на 5 годин?”. ( Треба знати два числові значення: 1 – скільки літрів бензину треба 1 трактору на 1 годину ( не відомо), та П – час роботи трактору ( 5 годин).)

• Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? ( Дією множення.)

• Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? ( Ні, ми не знаємо об”єм бензину для 1 трактору на 1 годину.)

• ЩО треба знати, щоб відповісти на запитання “Скільки літрів бензину треба 1 трактору на 1 годину?” (Треба знати два числові значення: Об”єм бензину для 1 трактору на весь час роботи ( не відомо) , та П – час роботи ( відомо, 4 години).

• Якою арифметичною дією відповімо на це запитання . (Дією ділення.)

• Чи можна відразу відповісти на це запитання? ( Не можна, ми не знаємо об”єм бензину для 1 трактора на 4 години.)

• Що треба знати, щоб знайти об”єм бензину для 1 трактора на 4 години? ( Треба знати два числові значення: 1 – загальний об”єм бензину ( 200 л), та П – кількість тракторів ( відомо, 2).

• Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією ділення.)

• Чи можна відразу відповісти на це запитання? ( Так, нам відомі обидва числові дані.)

• Отже ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.

?

3) ? * 5

2) ? : 4

1) 200 : 2

Складаємо план розв”язування задачі.

Першою дією дізнаємося про об”єм пального на 4 години для 1 трактора . Другою дією дізнаємося про об”єм пального на 1 годину для 1 трактора. Але ми ще не відповімо на запитання задачі – це лише “ключ” для її розв”язку. Третьою дією відповімо на запитання задачі , і дізнаємося про об”єм пального на 5 годин для 1 трактора.

Р озв”язання:

:

1. 200 : 2 = 100 ( л ) бензину на 4 години для 1 трактора.

2. 100 : 4 = 25 ( л ) бензину на 1 годину для 1 трактора.

3. 25 * 5 = 125 ( л ) бензину на 5 годин для 1 трактора.

• Чим відрізняється другий спосіб розв”язання? ( Першою дією.) Поставте дужку.

:

4 год., 2 тр. – 200 л

5 год. , 1 тр. - ? л

• Складіть план розв”язування задачі . (Першою дією ми дізнаємося про об”єм бензину для 2 тракторів на 1 годину. Другою дією дізнаємося про об”єм бензину для 1 трактора на 1 годину – це “ключ” до розв”язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі , дізнаємося про об”єм бензину для 1 трактора за 5 годин.)

• Запишіть розв”язання задачі.

Р озв”язання:

:

1. 200 : 4 = 50 ( л ) бензину для 2 тракторів на 1 годину.

2. 50 : 2 = 25 ( л ) бензину для 1 трактора на 1 годину.

3. 25 * 5 = 125 ( л) бензину для 1 трактора на 5 годин.

Порівняйте обидва способи розв”язання. Що в них спільного? ( В них спільні останні дії і пояснення до другої дії.) Чим вони відрізняються? ( Першими діями і поясненнями до них та другими діями.)

П окажемо обидва способи розв”язання на короткому записі:

:

4 год., 2 тр. – 200 л

5 год. , 1 тр. - ? л

На етапі закріплення учні, зробивши короткий запис, впізнають задачу відомого виду; ставлять стрілочки і розв”язують задачі двома способами; розв”язок записують по діях та виразом. Можливо подальше ускладнення задачі, наприклад:

Задача № 737. Двома сівалками за 12 год. роботи засіяли 96 га пшениці. Скільки гектарів пшениці можна засіяти однією сівалкою за 7 год. роботи?

Зауваження. На цій задачі здійснюється ознайомлення з складнішими задачами на подвійне зведення до одиниці. Ми це зробили на попередньому уроці, засобом продовження підготовчої задачі відомої учням структури. Можна і до даної задачі застосувати запропоновану методику – спочатку розв”язати підготовчу задачу, а потім продовжити її.

Учні складають короткий запис і розв”язують задачу двома способами.

:

12 год., 2 св.. – 96 га

7 год. , 1 св. - ? га

П

:

12 год., 2 св.. – 96 га

7 год. , 3 св. - ? га

Порівнюючи отриману задачу з попередньою, учні з”ясовують, що дана задача розв”язується чотирма арифметичними діями.

Ознайомлення з задачами П виду здійснюється в № 747. Методику введення задач такої математичної структури можна побудувати на підставі розв”язання задачі 1 виду і складання оберненої задачі. Наприклад:

Задача 1. ( 1 вид) Чотирма сівалками за 9 годин засіяли 108 га ячменю. Скільки гектарів ячменю можна засіяти 1 сівалкою за 20 годин?

:

9 год., 4 св.. – 108 га

20 год. , 1 св. - ? га

Розв”язання:

1 спосіб:

1. 108 : 9 = 12 ( га) 4 сівалки за 1 годину

2. 12 : 4 = 3 ( га) 2 сівалка за 1 годину.

3. 3 * 20 = 60 ( га) 1 сівалка за 20 годин.

108 : 9 : 4 * 20 = 60 ( га )

П спосіб:

1. 108 : 4 = 27 ( га) 1 сівалка за 9 годин.

2. 27 : 9 = 3 ( га) 1 сівалка за 1 годину.

3. 3) 3 * 20 = 60 ( га ) 1 сівалка за 20 годин.

108 : 4 : 9 * 20 = 60 ( га)

Відповідь: 60 га ячменю можна засіяти 1 сівалкою за 20 годин.

Задача № 747.Чотирма сівалками за 9 годин засіяли 108 га ячменю. За скільки годин можна засіяти 60 га однією такою сівалкою?

9 год., 4 св.. – 108 га

20 год. , ? св. - 60 га

• Порівняйте цю задачу і попередню. Що цікавого ви помітили? ( Обидві задачі мають схожі короткі записи. Ця задача є оберненою до попередньої задачі.)

• Отже, якщо ці задачі мають схожі математичні структури, то вони мають схожі способи розв”язання. Кількома способами можна розв”язати цю задачу? ( Так само, як і попередню задачу – двома способами.)

• П

  :

  9 год., 4 св.. – 108 га

  20 год. , ? св. - 60 га

  оставте стрілочки і розкажіть план розв”язування за першим та другим способами.

Перший спосіб. Першою дією дізнаємося про площу ячменю , який засіяно 4 сівалками за 1 годину. Другою дією ми дізнаємося про площу ячменю , який засіяно 1 сівалками за 1 годину – це “ключ” до розв”язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі, дізнаємося за скільки годин можна засіяти 60 га однією такою сівалкою.

Розв”язання:

1 спосіб:

1. 108 : 9 = 12 ( га) 4 сівалки за 1 годину

2. 12 : 4 = 3 ( га) 2 сівалка за 1 годину.

3. 60 : 3 = 20 – за стільки годин засіють 60 га ячменю 1 сівалкою.

• Порівняйте перший спосіб розв”язання цієї і попередньої задачі. Чим вони схожі? (Двома першими діями.) Чим вони відрізняються? ( Останніми діями: в попередній задачі третя дія множення, а в даній – дія ділення.)

Другий спосіб. Першою дією дізнаємося про площу ячменю , який засіяно 1 сівалкою за 9 годин. Другою дією ми дізнаємося про площу ячменю , який засіяно 1 сівалками за 1 годину – це “ключ” до розв”язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі, дізнаємося за скільки годин можна засіяти 60 га однією такою

сівалкою.

1. 108 : 4 = 27 ( га) 1 сівалка за 9 годин.

2. 27 : 9 = 3 ( га) 1 сівалка за 1 годину.

3. 60 : 3 = 20 – за стільки годин засіють 60 га ячменю 1 сівалкою.

• Порівняйте другий спосіб розв”язання цієї і попередньої задачі. Чим вони схожі? (Двома першими діями.) Чим вони відрізняються? ( Останніми діями: в попередній задачі третя дія множення, а в даній – дія ділення.)

• Отже ці дві задачі мають схожу математичну структуру, тому вони відносяться до одного типу. Але розв”язання цих задач відрізняються останніми діями, тому перша задача є задачею 1-го виду, а друга П – виду.

На етапі закріплення після розв”язання задачі можливо перетворення задачі одного виду в задачу іншого виду. Крім того, можна поставити додаткове запитання до задачі, наприклад:

Задача № 760 ( П вид) Три однакові трактори за 4 год роботи витратили 240 л пального. На скільки годин роботи вистачить 400 л пального одному такому трактору?

3 тр., 4 год. – 240 л

1 тр., ? год. – 400 л

Додаткове запитання: “ На скільки годин роботи вистачить 400 л пального 2 тракторам?”

3 тр., 4 год. – 240 л

2 тр., ? год. – 400 л

У підручнику “Математика 4(3)” пропонуються задачі розглянутого виду у номерах: № 750, № 765, № 775, № 785, № 797, № 806,

Отже нами розглянуто методику навчання учнів розв”язуванню задач на подвійне зведення до одиниці. З метою запам”ятовування двох способів розв”язування задач даного виду нами використано прийом стимулюючих ланок, який розглядається в психологічній науці, як прийом раціонального запам”ятовування навчального матеріалу. Припустимо, що потрібно запам”ятати дві послідовні думки А і В.Цього можна досягти шляхом безпосереднього повторення, або інакше - слід ввести між ними проміжний розумовий процес – М. В результаті утворюються відповідні зв”язки, послідовність яких умовно можна позначити (А,В) та (А,М,В).Такий проміжний розумовий процес (М) називається стимулюючою ланкою. В даному випадку в якості стимулюючої ланки виступає система стрілочок і дужок. Прочитавши задачу, учень записує її коротко і впізнає задачу даного виду, після чого він ставить дужки ( стрілочки) і пояснює план розв”язування задачі за двома способами.