8. Функции алгебры логики
Функцией
алгебры логики
переменных (функцией Буля или
булевой
функцией)
называется функция
переменных
,
где каждая переменная
принимает два значения 0 и 1:
,
и при этом сама функция
может принимать только одно из двух
значений 0 и 1:
.
Число различных
булевых функций
переменных равно
.
В частности, различных булевых функций
одной переменной четыре, а различных
булевых функций двух переменных
шестнадцать. Перечислим эти функции.
Рассмотрим таблицу истинности всех различных булевых функций одной переменной:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы следует, что эти функции можно представить как формулы исчисления высказываний:
.
Таблица истинности всех различных булевых функций двух переменных имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Этим функциям соответствуют следующие формулы исчисления высказываний:
,
Каждой булевой функции можно сопоставить формулу алгебры высказываний. С этой целью введем обозначение
Следующий факт для булевой функции с любым количеством переменных. Приведем его для функции двух переменных.
Произвольная
булева функция двух переменных
представима в виде:
.
Для краткости
записи опустим символ конъюнкции: вместо
будем писать
:
.
Это обозначение совпадает и с содержанием этих операций: значение конъюнкции , на самом деле, совпадает со значением арифметической операции умножения .
Полагая
,
,
,
функцию
можно представить следующим образом:
.
Полученное представление справедливо для всех булевых функций с любым количеством переменных.