5. Формулы алгебры высказываний
С помощью логических операций над высказываниями можно строить различные, более сложные высказывания. Определим понятие формулы алгебры высказываний.
Формулой алгебры высказываний (формулой) называется
1) любое высказывание (высказывательное переменное);
2) если и – формулы, то , , , , – тоже формулы;
3) кроме формул приведенных в п.п 1) и 2) других формул в алгебре высказываний нет.
Если формула
образована, например, из формул
(переменных)
,
и
,
то используем следующую запись:
.
Две формулы
и
,
образованные из одних и тех же переменных,
называются равносильными,
если на одинаковых наборах значений
входящих в них переменных они принимают
одинаковые логические значения и
обозначается
.
Формула называется тавтологией (тождественно истинной), если она принимает только истинное значение на всех наборах значений входящих в неё переменных.
Формула называется противоречием (тождественно ложной), если она принимает только ложное значение на всех наборах значений входящих в неё переменных.
Формула называется выполнимой, если она не является ни тавтологией и ни противоречием.
Для того, чтобы
формулы
и
,
образованные из одних и тех же переменных
являлись равносильными, необходимо и
достаточно, чтобы формула
являлась тавтологией.
6. Основные тавтологии
Приведем перечень равносильных формул и названий некоторых из них:
1.
– коммутативность дизъюнкции;
2.
– коммутативность конъюнкции;
3.
– ассоциативность дизъюнкции;
4.
– ассоциативность конъюнкции;
5.
– дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции;
6.
– дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции;
7.
– идемпотентность дизъюнкции;
8.
– идемпотентность конъюнкции;
9.
– первый закон поглощения;
10.
– второй закон поглощения;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
– первый закон де Моргана;
16.
– второй закон де Моргана;
17.
– закон исключённого третьего;
18.
– закон противоречия;
19.
– первая формула расщепления;
20.
– вторая формула расщепления;
21.
– закон снятия дойного отрицания;
22.
– формула, представляющая импликацию
через отрицание и дизъюнкцию;
23.
– формула, представляющая импликацию
через отрицание и конъюнкцию;
24.
– формула, представляющая эквиваленцию
через импликацию и конъюнкцию;
25.
– первая формула, представляющая
эквиваленцию через отрицание, дизъюнкцию
и конъюнкцию;
25.
– вторая формула, представляющая
эквиваленцию через отрицание, дизъюнкцию
и конъюнкцию.
Приведем две равносильные формулы, используемые в разделе ДНФ и КНФ:
26.
– первое правило Блейка;
27.
– второе правило Блейка.
Справедливость этих равносильных формул можно проверить построив их таблиц истинности.
Если в этих
равносильных формулах символ
заменить символом
,
то получаются тавтологии, называемые
основными.
7. Нормальные формы
Пусть
(*)
– высказывательные переменные.
Элементарной
дизъюнкцией
(ЭД) называется
дизъюнкции любых переменных
из (*) или их отрицания
.
Например, если
и набор (*) имеет вид
,
то
– элементарные дизъюнкции. Если в
элементарной дизъюнкции участвует все
переменные из (*) (либо сама, либо её
отрицание), то она называется полной
элементарной дизъюнкцией (ПЭД).
Например, в случае
,
перечислим всех полных элементарных
дизъюнкций:
,
,
,
,
,
,
,
.
Элементарной
конъюнкцией
(ЭК) называется
конъюнкции любых переменных
из (*) или их отрицания
.
Например, если
и набор (*) имеет вид
,
то
– элементарные конъюнкции. Если в
элементарной конъюнкции участвует все
переменные из (*) (либо сама, либо её
отрицание), то она называется полной
элементарной конъюнкцией (ПЭК).
Например, в случае
,
перечислим всех полных элементарных
конъюнкций:
,
,
,
,
,
,
,
.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкции произвольного количества элементарных конъюнкций. Схематично ДНФ имеет вид:
(ЭК) (ЭК) (ЭК) … .
Если все входящие в ДНФ элементарные конъюнкции являются полными, то она называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Схематично СДНФ имеет вид:
(ПЭК) (ПЭК) (ПЭК) … .
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкции произвольного количества элементарных дизъюнкций. Схематично КНФ имеет вид:
(ЭД) (ЭД) (ЭД) … .
Если все входящие в КНФ элементарные дизъюнкции являются полными, то она называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Схематично СКНФ имеет вид:
(ПЭД) (ПЭД) (ПЭД) … .
Для каждой формулы, не являющейся тождественно истинной и тождественно ложной, существуют равносильные СДНФ и СКНФ.