Решение.

Каждой формуле алгебры высказываний соответствует один многочлен Жегалкина. Равносильным формулам соответствует один и тот же многочлен Жегалкина. Обратно, каждому многочлену Жегалкина соответствует формула алгебры высказываний. Однако обратное соответствие не является однозначным. Одному многочлену Жегалкина может соответствовать несколько равносильных формул.

Упростим данную формулу (естественно, если упрощение возвожно). Запишем данную формулу:

;

дважды применим формулу 15 (первый закон де Моргана):

;

дважды применим формулу 21 (закон снятия двойного отрицания):

;

применим формулу 21 (расставим двойное отрицание):

;

последовательно избавимся от операции отрицания; к верхнему отрицанию применим формулу :

;

применим формулу 15:

;

дважды применим формулу :

;

дважды применим формулу :

;

дважды применим формулу :

.

перемножим скобки, применяя формулу :

.

упростим сумму, применяя формулы , и :

.

Ответ: – многочлен Жегалкина.

Задание № 8. Упростить данную релейно-контактную схему.

Решение.

Составим функцию проводимости данной релейно-контакт-ной схемы. Для этого рассмотрим две простейшие релейно-кон-тактные схемы:

где и – отдельные участки релейно-контактной схемы.

Участки и примем за формулу, а замкнутость участка – за истинность формулы, разомкнутость – за ложность. Тогда данным схемам соответствуют функции проводимости:

а) ;

б) .

Если верхний участок схемы обозначим , а нижний , то данной в условии задачи схеме соответствует функция проводимости пункта а) . Теперь применяя это правило для отдельных схем и , получим:

,

.

Упростим эти формулы. Используем формулу 6 (закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции):

;

;

используем формулу 2:

;

;

используем формулы 8 и 18:

;

;

используем формулы 14 и 13:

;

;

формула – упрощена; используем формулы 12 и 6:

;

используем формулы 11 и 12:

;

формула – упрощена.

Таким образом, функцией проводимости данной релейно-контакт-ной схемы, является

.

По полученной формуле составим упрощенную релейно-контактную схему, которая является ответом для данной задачи:

Краткий теоретический материал

1. Основные понятия теории множеств

Понятие множества относится к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Под понятием множества будем понимать любую определенную совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – прописными. Если объект является элементом множества , то используется обозначение: , если же объект не является элементом множества , то используется обозначение: .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Если множество состоит из элементов , то используется обозначение . В этом случае будем говорить, что множество задано перечислением его элементов.

Обозначения для некоторых, часто используемых, множеств:

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество вещественных чисел.

Множество можно задавать и с помощью характеристического предиката. Например, множество рациональных чисел можно записать следующим образом:

.

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и обозначается .

Если каждый элемент множества является также элементом множества , то множество называется подмножеством множества и обозначается :

.

Приведем ещё одно определение равенства двух множеств и . Два множества и называются равными, если каждое из них являются подмножеством другого:

.