Вологодский государственный технический университет
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
Методические указания и контрольные работы
для студентов заочной формы обучения
Вологда 2011
УДК:511.147:511.61/62
Математическая логика. Контрольная работа и методические указания для студентов заочной формы обучения. – Вологда: ВоГТУ, 2011.
В методических указаниях приведены правила выполнения и оформления контрольных работ, задания для контрольных работ, образцы решения и оформления контрольных работ.
Составитель: А.Б. Назимов – канд. физ.-мат. наук, доцент
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ
И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.
Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра – номера его зачетной книжки.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку (чернилами синего или черного цвета).
Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.
Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).
Компьютерное оформление работы не рецензируется.
Выполненная контрольная работа сдается на кафедре в первый день зимней сессии.
Задания
для контрольных работ
Задание № 1.
Даны множества
и
.
Найти:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
Вариант № 1 |
|
,
.
Вариант № 2 |
|
,
.
Вариант № 3 |
|
,
.
Вариант № 4 |
|
,
.
Вариант № 5 |
|
,
.
Вариант № 6 |
|
,
.
Вариант № 7 |
|
,
.
Вариант № 8 |
|
,
.
Вариант № 9 |
|
,
.
Вариант № 10 |
|
,
.
Задание № 2. Доказать равенство множеств.
Вариант № 1 |
|
.
Вариант № 2 |
|
.
Вариант № 3 |
|
.
Вариант № 4 |
|
.
Вариант № 5 |
|
.
Вариант № 6 |
|
.
Вариант № 7 |
|
.
Вариант № 8 |
|
.
Вариант № 9 |
|
.
Вариант № 10 |
|
.
Задание № 3.
Дано бинарное отношение
на множестве
.
Найти: а)
;
б)
;
г)
;
д)
;
д)
;
е)
.
Вариант № 1 |
|
,
.
Вариант № 2 |
,
|
.
Вариант № 3 |
,
|
.
Вариант № 4 |
,
|
.
Вариант № 5 |
,
|
.
Вариант № 6 |
,
|
.
Вариант № 7 |
,
|
.
Вариант № 8 |
,
|
.
Вариант № 9 |
,
|
.
Вариант № 10 |
,
|
.
Задание № 4. С помощью равносильных формул (элементарных тавтологий) доказать тождественно истинность данной формулы (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).
Вариант № 1 |
|
.
Вариант № 2 |
|
.
Вариант № 3 |
|
.
Вариант № 4 |
|
.
Вариант № 5 |
|
.
Вариант № 6 |
|
.
Вариант № 7 |
|
.
Вариант № 8 |
|
.
Вариант № 9 |
|
.
Вариант № 10 |
|
.
Задание № 5. Используя основные тавтологии, построить равносильные данной формуле ДНФ и КНФ. (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).
Вариант № 1 |
|
.
Вариант № 2 |
|
.
Вариант № 3 |
|
.
Вариант № 4 |
|
.
Вариант № 5 |
|
.
Вариант № 6 |
|
.
Вариант № 7 |
|
.
Вариант № 8 |
|
.
Вариант № 9 |
|
.
Вариант № 10 |
|
.
Задание № 6. Построив таблицу истинности данной формулы, построить равносильные ей СДНФ и СКНФ.
Вариант № 1 |
|
.
Вариант № 2 |
|
.
Вариант № 3 |
|
.
Вариант № 4 |
|
.
Вариант № 5 |
|
.
Вариант № 6 |
|
.
Вариант № 7 |
|
.
Вариант № 8 |
|
.
Вариант № 9 |
|
.
Вариант № 10 |
|
.
Задание № 7. Для данной формулы алгебры высказываний построить многочлен Жегалкина.
Вариант № 1 |
|
.
Вариант № 2 |
|
.
Вариант № 3 |
|
.
Вариант № 4 |
|
.
Вариант № 5 |
|
.
Вариант № 6 |
|
.
Вариант № 7 |
|
.
Вариант № 8 |
|
.
Вариант № 9 |
|
.
Вариант № 10 |
|
.
Задание № 8. Упростить данную релейно-контактную схему.
Вариант № 1 |
|
Вариант № 2 |
|
Вариант № 3 |
|
Вариант № 4 |
|
Вариант № 5 |
|
Вариант № 6 |
|
Вариант № 7 |
|
Вариант № 8 |
|
Вариант № 9 |
|
Вариант № 10 |
|
Образцы решения
и оформления заданий
Задание № 1.
Даны множества и . Найти:
а) , б) , в) , г) , д) .
-
,
.
Решение.
Найдем все элементы множеств и .
Решим уравнение
.
Положим
.
Тогда
.
В новой переменной уравнение записывается в виде
,
;
1)
,
2
)
,
.
Следовательно,
.
Решим неравенство
в множестве натуральных чисел:
.
Решим второе из неравенств:
,
.
Из
найденных значений
выберем такие, которые удовлетворяют
неравенству
:
(удовлетворяет),
(удовлетворяет),
(не
удовлетворяет),
(не
удовлетворяет),
(удовлетворяет),
(удовлетворяет).
Следовательно,
.
Выполним теперь требуемые действия над множествами и , которые являются ответом для данного задания:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Задание № 2.
Доказать равенство множеств.
-
.
Решение.
Доказательство
равенства двух множеств
состоит из доказательства двух включений:
а)
и б)
.
а)
Доказательство включения
:
.
б)
Доказательство включения
:
.
Задание № 3.
Дано бинарное отношение на множестве . Найти:
а) ;
б) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) .
-
и
делит
,
.
Решение.
Найдем все элементы бинарного отношения :
.
Из
этого представления видно, что среди
первых элементов
пар,
составляющих множество
,
участвуют все элементы множества
.
Поэтому область определения бинарного
отношения
совпадает
со всем множеством:
.
Среди
вторых элементов пар, составляющих
множество
,
участвуют
все элементы множества
.
Поэтому область значений
бинарного
отношения
совпадает со всем множеством:
.
Поменяв местами, первый элемент со вторым во всех парах, получим обратное отношение :
.
Так как:
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
.
Суперпозиция
состоит из тех же элементов, что и
множество
,
Поэтому
.
Так как
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
.
Следовательно, имеем
.
Заметим,
что в суперпозицию
не входят следующие пары:
.
Так как
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
;
и
,
то
.
Следовательно,
суперпозиция
совпадает с множеством
:
.
Задание № 4. С помощью равносильных формул (элементарных тавтологий) доказать тождественно истинность данной формулы (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).
