Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математическая логика = Контрольная работа.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.13 Mб
Скачать

Вологодский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЛОГИКА

Методические указания и контрольные работы

для студентов заочной формы обучения

Вологда 2011

УДК:511.147:511.61/62

Математическая логика. Контрольная работа и методические указания для студентов заочной формы обучения. – Вологда: ВоГТУ, 2011.

В методических указаниях приведены правила выполнения и оформления контрольных работ, задания для контрольных работ, образцы решения и оформления контрольных работ.

Составитель: А.Б. Назимов – канд. физ.-мат. наук, доцент

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.

  1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра – номера его зачетной книжки.

  2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку (чернилами синего или черного цвета).

  3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради приведен на доске объявлений деканата ФЗДО.

  4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.

  5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.

  6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

  7. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).

  8. Компьютерное оформление работы не рецензируется.

  9. Выполненная контрольная работа сдается на кафедре в первый день зимней сессии.

Задания

для контрольных работ

Задание № 1. Даны множества и . Найти:

а) , б) , в) , г) , д) .

Вариант № 1

,

.

Вариант № 2

,

.

Вариант № 3

,

.

Вариант № 4

,

.

Вариант № 5

,

.

Вариант № 6

,

.

Вариант № 7

,

.

Вариант № 8

,

.

Вариант № 9

,

.

Вариант № 10

,

.

Задание № 2. Доказать равенство множеств.

Вариант № 1

.

Вариант № 2

.

Вариант № 3

.

Вариант № 4

.

Вариант № 5

.

Вариант № 6

.

Вариант № 7

.

Вариант № 8

.

Вариант № 9

.

Вариант № 10

.

Задание № 3. Дано бинарное отношение на множестве . Найти: а) ; б) ; г) ; д) ; д) ; е) .

Вариант № 1

, .

Вариант № 2

, .

Вариант № 3

, .

Вариант № 4

, .

Вариант № 5

, .

Вариант № 6

, .

Вариант № 7

, .

Вариант № 8

, .

Вариант № 9

, .

Вариант № 10

, .

Задание № 4. С помощью равносильных формул (элементарных тавтологий) доказать тождественно истинность данной формулы (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).

Вариант № 1

.

Вариант № 2

.

Вариант № 3

.

Вариант № 4

.

Вариант № 5

.

Вариант № 6

.

Вариант № 7

.

Вариант № 8

.

Вариант № 9

.

Вариант № 10

.

Задание № 5. Используя основные тавтологии, построить равносильные данной формуле ДНФ и КНФ. (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).

Вариант № 1

.

Вариант № 2

.

Вариант № 3

.

Вариант № 4

.

Вариант № 5

.

Вариант № 6

.

Вариант № 7

.

Вариант № 8

.

Вариант № 9

.

Вариант № 10

.

Задание № 6. Построив таблицу истинности данной формулы, построить равносильные ей СДНФ и СКНФ.

Вариант № 1

.

Вариант № 2

.

Вариант № 3

.

Вариант № 4

.

Вариант № 5

.

Вариант № 6

.

Вариант № 7

.

Вариант № 8

.

Вариант № 9

.

Вариант № 10

.

Задание № 7. Для данной формулы алгебры высказываний построить многочлен Жегалкина.

Вариант № 1

.

Вариант № 2

.

Вариант № 3

.

Вариант № 4

.

Вариант № 5

.

Вариант № 6

.

Вариант № 7

.

Вариант № 8

.

Вариант № 9

.

Вариант № 10

.

Задание № 8. Упростить данную релейно-контактную схему.

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Вариант № 7

Вариант № 8

Вариант № 9

Вариант № 10

Образцы решения

и оформления заданий

Задание № 1.

Даны множества и . Найти:

а) , б) , в) , г) , д) .

,

.

Решение.

Найдем все элементы множеств и .

Решим уравнение

.

Положим

.

Тогда

.

В новой переменной уравнение записывается в виде

,

;

1) ,

2 ) ,

.

Следовательно,

.

Решим неравенство

в множестве натуральных чисел:

.

Решим второе из неравенств:

,

.

Из найденных значений выберем такие, которые удовлетворяют неравенству :

(удовлетворяет),

(удовлетворяет),

(не удовлетворяет),

(не удовлетворяет),

(удовлетворяет),

(удовлетворяет).

Следовательно,

.

Выполним теперь требуемые действия над множествами и , которые являются ответом для данного задания:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание № 2.

Доказать равенство множеств.

.

Решение.

Доказательство равенства двух множеств состоит из доказательства двух включений: а) и б) .

а) Доказательство включения :

.

б) Доказательство включения :

.

Задание № 3.

Дано бинарное отношение на множестве . Найти:

а) ;

б) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

и делит , .

Решение.

Найдем все элементы бинарного отношения :

.

Из этого представления видно, что среди первых элементов пар, составляющих множество , участвуют все элементы множества . Поэтому область определения бинарного отношения совпадает со всем множеством: .

Среди вторых элементов пар, составляющих множество , участвуют все элементы множества . Поэтому область значений бинарного отношения совпадает со всем множеством: .

Поменяв местами, первый элемент со вторым во всех парах, получим обратное отношение :

.

Так как:

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то .

Суперпозиция состоит из тех же элементов, что и множество , Поэтому .

Так как

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то .

Следовательно, имеем

.

Заметим, что в суперпозицию не входят следующие пары: .

Так как

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то ;

и , то .

Следовательно, суперпозиция совпадает с множеством :

.

Задание № 4. С помощью равносильных формул (элементарных тавтологий) доказать тождественно истинность данной формулы (При решении ссылаться на номер формулы из перечня равносильных формул).