3.2.2. Уравнение энергии. Критическая и максимальная скорости газа

Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Считаем, что трение отсутствует. В струйке одномерного течения скорость и параметры газа р, , Т могут меняться по ее длине, оставаясь неизменными по сечению F. Вследствие малой плотности газа допустимо пренебречь изменением высоты струйки над плоскостью сравнения, так как для частицы газа влияние силы тяжести прене-брежимо мало по сравнению с силами инерции и давления. Тогда ускорение эле-ментарной частицы с объемом и массой будет создаваться продольным градиентом давления. Опуская промежуточные выкладки, запишем уравнение энергии для одномерного течения газа:

. (3.30)

Считая течение адиабатным, выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение плотности с помощью уравнения адиабаты (3.26): ; . Подставляя это выражение в уравнение (3.30) и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в интегральной форме, или уравнение Бернулли - Сен-Венана :

. (3.31)

Последнее уравнение можно представить также по-иному:

, , . (3.31а)

Увеличение скорости вдоль струйки приводит к падению температуры газа, и наоборот. Температура максимальна в покоящемся газе (при = 0); ее называют температурой торможения Т*. Скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны: увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука. При ускорении газового потока и одновременном уменьшении скорости звука а наступает момент, когда они сравниваются; при этом достигается критическая скорость а_кр, которая равна

. (3.32)

С достижением критической скорости дозвуковой поток переходит в сверх-звуковой. Критическая скорость а_кр в отличие от локальной скорости звука а остается постоянной вдоль струйки. Поэтому удобно измерять скорость течения в долях этой величины; так вводится безразмерная скорость газа , назы-ваемая также коэффициентом скорости. При имеем .

При истечении газа в пустоту, когда р 0, его потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую. В этом случае Т 0, скорость становится максимальной. Ее величину можно определить из выражений (3.38а) при Т = 0:

. (3.33)

В частности, если в пустоту вытекает воздух при температуре 15°С, то = 760 м/с. При истечении в пустоту из ракетного двигателя продуктов сгорания повышение Т* в камере сгорания приводит к росту скорости истечения газов и увеличению тяги двигателя.

Таким образом, потенциальная энергия газа выражается различными фор-мами в уравнениях энергии (3.38) - (3.38а) с помощью различных взаимосвязан-ных параметров - давления, температуры, скорости звука.

3.2.3. Связь скорости газа с сечением потока. Сопло Лаваля

Выясним зависимость скорости течения от площади F поперечного сечения потока. Для газа уравнение неразрывности имеет вид: . Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим

. (3.34)

Опуская некоторые промежуточные выкладки, из этого уравнения следует

. (3.35)

Из уравнения (3.35) ясно, что изменение скорости при изменении сечения dF происходит по-разному для дозвукового и сверхзвукового течения. В дозвуковом потоке ( , М<1) знаки и dF в (3.42) протии-воположны: уменьшение сечения в сужающемся канале приводит к возрастанию скорости. Наоборот, в расши-ряющемся канале скорость вниз по потоку уменьшается. При сверхзвуковом течении ( , М>1) в сужающемся канале поток замедляется, в расширяющемся – ускоря-ется.

Для получения сверхзвуковых скоростей газа в тех-нике используется сопло Лаваля (рис. 3.2), принцип действия которого ясен из приведенных рассуждений. Рис.3.2.Сопло Лаваля

В дозвуковом потоке, поступающем в сужающуюся часть сопла Лаваля, скорость увеличивается. Если в наименьшем сечении сопла не достигается скорость, равная скорости звука, то в расширяющейся части происходит ее уменьшение; скорость по длине сопла изменяется по кривой I на рис. 3.2. Если перепад давления доста-точно велик и в наименьшем сечении скорость течения сравнивается со скоростью звука, то при дальнейшем расширении поток переходит в сверхзвуковой, скорость его изменяется по кривой II. Сопло Лаваля имеет широкое применение, являясь составной частью реактивных двигателей, турбин, в которых рабочие лопатки обтекаются сверхзвуковым потоком, сверхзвуковых аэродинамических труб и т.д.