3.1.9. Уравнение количества движения

Для определения силовых и временных характеристик потока используется уравнение количества движения. Оно выводится из теоремы механики об изменении количества движения:

Δ (mw)/Δτ = f , или Δ (mw) /Δτ = ρ₁F₁w₁ w₁ - ρ₂F₂w₂ w₂ = G (w₁ – w₂ ), (3.16)

где G = ρwF – массовый расход жидкости в струйке. Выражение (3.16) назы-вается уравнением количества движения в гидродинамической форме; оно полу-чено Эйлером Поскольку внешние силы уравновешиваются реакцией потока, это уравнение позволяет определить усилие, с которым поток действует на ограничи-вающие его поверхности В частности, при натекании струи под углом  на пло-скую стенку сила давления струи в направлении нормали к стенке нормали равна

f_n = G (w_1n – w_2n ) = ρ₁F₁w₁ (w_1n – 0) = ρ₁F₁w₁² sin α , (3.17)

где F₁ - площадь исходного сечения струи 1-1.

Сила давления потока на стенки криволинейного канала определяется как векторная сумма реакций потока на входе в канал R₁ = p₁F₁ + ρ₁F₁w₁² и на выходе из канала R₂ = p₂F₂ + ρ₂F₂w₂² . Этот вывод составляет основу раздела о силовом взаимодействии потока со стенками канала в теории турбомашин.

При движении жидкости в рабочем колесе центробежного насоса (рис. 3.1) момент сил, действующих на колесо, определяется уравнением моментов коли-чества движения Эйлера:

[т (с₂ r₂ cos ₂ - с₁ r₁ cos ₁ )] / Δτ = M. (3.18)

З начения скоростей с₁ на входе в рабочее колесо центробежного насоса и с₂ на выходе, а также углов α₁ и α₂ ясно из рис. 3.1. Уравнение (3.18) одинаково справедливо как для лопастного насоса, так и для гидравлической турбины. В последнем случае поток входит в рабочее колесо через сечение II и выходит через сечение I, изменяя свой момент количе-ства движения и передавая крутящий мо- Рис.3.1. Скорости течения в колесе

мент М лопаткам колеса. Для турбины центробежного насоса

векторы скоростей с₂ и с₁ имеют противоположное направление по сравнению с рис. 3.1. Отношение m/Δτ в уравнении Эйлера представляет собой секундный массовый расход G = ρQ с размерностью кг/с. Очевидно, что мощность центробежного насоса или гидротурбины будет наибольшей при cos = 0, т. е. при  = 90° (для центробежного насоса это радиальный вход потока в рабочее колесо, для гидротурбины - радиальный выход). В этом случае N = ρQc₂u₂ cos ₂.

3.1.10. Число Рейнольдса. Потери напора по длине трубы

Опыт показывает, что при движении вязкой жидкости относительно твердой поверхности возможны две качественно различные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы Рейнольдсом.

В экспериментах Рейнольдса жидкость вытекала из бака по стеклянной трубе, скорость течения регулировалась краном. Чтобы наблюдать перемещение слоев, жидкости, в поток вводилась струйка красителя. Опыты показали, что при малых скоростях течения w струйка красителя распространяется вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними объемами. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Такой режим течения был назван ламинарным (от латинского ламина – слой, пластинка).

Если скорость течения делается больше некоторой критической скорости w_кр, окрашенная струйка начинает колебаться и размываться. В поперечной эпюре скоростей появляются разрывы, скорости отдельных частиц изменяются при их перемещении; в фиксированной точке потока появляются пульсации скорости w и давления p. Такое течение называется турбулентным (бурным, возмущенным). При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями, движу-щимися друг относительно друга, происходит за счет взаимного перемещения уже не отдельных молекул, как при ламинарном течении, а значительно больших по сравнению с молекулой частиц. Рейнольдс показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса Re:

Re = wD / ν , (3.19)

где D - диаметр трубы, ν - кинематический коэффициент вязкости жидкости. Согласно опытным данным, при Re < 2300 течение всегда ламинарное; в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса вносимые в поток возмущения приводят к потере устойчивости течения, начинается турбулизация. Значение Re_кр = 2300 называют критическим числом Рейнольдса для круглой трубы.

Влияние различных факторов на потери напора в трубопроводах иссле-довались экспериментально. Обнаружено, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном - в степени от 1,75 до 2. Для развитого турбулентного движения при больших скоростях потока характерен квадратичный закон сопротивления: h~w². Потери напора по длине трубы рассчитываются по формуле Дарси

, (3.20)

При различных режимах течения гидравлический коэффициент трения λ_тр зависит от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости стенок трубы D/Δ (здесь D – внутренний диаметр трубы, Δ – средняя высота бугорков шероховатости). По измеренным в опытах h_дл и w вычислялась величина λ_тр. Зависимость λ_тр = f (Re, D /Δ) представлена, в частности, в источнике [3]. При малых числах Рейнольдса (Re < 2300, ламинарный режим) коэффициент трения не зависит от размеров бугорков шероховатости. При турбулентном течении также есть область сопротивления, в которой трубы различной шероховатости имеют одинаковые коэффициенты λ_тр , это область гидравлически гладких труб. В этом случае между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть сечения трубы, и стенкой лежит тонкий ламинарный подслой. С возрастанием скорости (увеличением Re) ламинарный подслой утоняется, отдельные выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока. Бугорки шероховатости выступают из ламинарного подслоя, поток обтекает их с образованием за тыловым склоном вихревых областей. При дальнейшем увеличении Re ламинарный под-слой полностью срывается, λ_тр становится функцией только относительной высо-ты выступов шероховатости. Это - область квадратичного сопротивления. Пере-ход от одной области сопротивления к другой определяется величинами Re и D/Δ.

3.1.11. Местные сопротивления. Гидравлический расчет трубопроводов

На участке резкого изменения геометрии потока, там, где он сжимается, расширяется, изменяет направление, обтекает препятствие, появляются обратные течения. Их появление приводит к резкому возрастанию градиентов скорости течения внутри вихревых образований, к росту сил вязкого трения, более интенсивному превращению механической энергии потока в теплоту.

Потери энергии потока на поддержание движения в таких областях назы-ваются местными потерями напора h_м Они сконцентрированы на небольших (в сравнении с длиной трубы l) участках. Местные потери определяются по формуле Вейсбаха

. (3.21)

Величины ζ_м для различных видов местных сопротивлений определены экспери-ментально. Сведения по коэффициентам местных сопротивлений содержатся в гидравлических справочниках и таблицах.

При расчете трубопроводов решаются следующие основные задачи:

1. Определение напора Н, необходимого для обеспечения заданного расхода Q в трубопроводе.

2. Определение расхода Q в данном трубопроводе при известном напоре Н.

3. Определение диаметров труб, обеспечивающих заданный расход при извес-тном напоре.

Трубопроводы делят на гидравлически длинные, в которых местные потери напора пренебрежимо малы по сравнению с потерями на длине, и гидравлически короткие, в которых эти виды потерь сравнимы по величине. Потери напора в последовательно размещенных на трубопроводе местных сопротивлениях и сопротивлениях по длине труб суммируются.

При решении задачи по определению напора при заданном расходе вычис-ляются скорости в трубах. По формуле Вейсбаха определяются местные потери. Вычисляются числа Рейнольдса, по Re и относительной шероховатости труб опре-деляются области сопротивления, для которых находят гидравлические коэффи-циенты трения λ_тр. По формуле Дарси находят потери по длине и определяют полный напор:

H = Σ h_l + Σ h_м. (3.22)

При расчете гидравлически длинных трубопроводов, когда есть уверенность, что числа Рейнольдса достаточно велики для обеспечения квадратичного сопро-тивления, решение существенно упрощается. Действительно, в этом случае λ_тр зависит только от шероховатости трубы и является для данной трубы постоянной величиной. Влияние местных сопротивлений учитывается введением поправки в 10…20% от потерь по длине.