2.2.3. Основы теории подобия

Аналитический метод изучения конвективного теплообмена состоит в сос-тавлении и решении дифференциальных уравнений движения, неразрывности потока, теплопроводности жидкости, описывающих процессы переноса теплоты, с соответствующими условиями однозначности (геометрическими, физическими, граничными и временными). В результате определяется поле скоростей, температур и давлений в жидкости. Для расчета коэффициента теплоотдачи составляется дифференциальное уравнение теплоотдачи, характеризующее теплообмен на границе раздела потока жидкости и твердого тела. Оно имеет вид

α = - λ_ж (дt/ду)_у=0 / (t_c – t_ж), (2.41)

где n – нормаль к поверхности тела, λ_ж - коэффициент теплопроводности жид-кости.

Теплотехнический эксперимент и обработку опытных данных необходимо осуществлять на основе теории подобия физиических явлений. В теории подобия на основании анализа дифференциальных уравнений и условий однозначности находится связь между отдельными группами физических величин, существен-ных для изучаемого процесса, которые объединяются в безразмерные комплексы – новые переменные. Число переменных величин сокращается. В новых пере-менных исследуется не единичное явление, а их множество, объединенное некоторой общностью свойств. Теория подобия является средством обобщения результатов физического и математического экспериментов и теоретической основой моделирования процессов. Она позволяет на основании опытов или численных расчетов получить обобщенную зависимость.

Сам термин «подобие» взят из геометрии: у подобных фигур пропорци-ональны сходственные элементы, а сходственные линейные размеры связаны геометрической константой подобия (отношением размеров) с_l. Для реализации подобия физических явлений необходимо обеспечить пропорциональность не только геометрических элементов систем, в которых протекает явление, но и физических параметров (вязкость, теплоемкость, теплопроводность и т. д.), а также физических характеристик, определяющих эти явления (скорость, темпе-ратура, давление и т. п.).

Подобными называются физические явления, если они удовлетворяют следующим условиям:

а) это явления одной физической природы, которые описываются уравне-ниями, одинаковыми по форме и своему физическому содержанию;

б) явления протекают в геометрически подобных системах;

в) подобны поля всех физических величин.

Если математическое описание явлений одинаково по форме, а физическая природа их различна (например, теплопроводность и электропроводность), то явления называются аналогичными. Теория подобия является базой физического моделирования, аналогия - математического.

В основу теории подобия физических явлений положены три теоремы.

Первая теорема (Ньютона) устанавливает связь между константами подобия и позволяет выявить критерии (числа) подобия. Критерии подобия - это безразмерные соотношения физических величин, которые у подобных явлений в сходственных точках и в сходственные моменты времени имеют численно одинаковые значения. Формулировка теоремы: «у подобных явлений одноимен-ные критерии подобия численно одинаковы».

Вторая теорема (Букингема) указывает путь получения критериев подобия - из анализа дифференциальных уравнений, описывающих исследуемое явление. Содержание этой теоремы сводится к тому, что всякая зависимость между физии-ческими параметрами, характеризующими явления, может быть представлена зависимостью между критериями подобия. Такого рода зависимости называют критериальными уравнениями подобия. Поскольку для подобных явлений Крите-рии подобия по первой теореме численно одинаковы, то и уравнения подобия для них также одинаковы.

Третья теорема (Кирпичева) формулируется так: подобны те явления, у которых подобны условия однозначности, а критерии подобия, составленные из этих условий, равны между собой. Она устанавливает необходимые и доста-точные условия подобия физических явлений.

В условия однозначности входят геометрические, физические, граничные и временные условия.

Безмерные комплексы, составленные из физических величин, характери-зующих данный процесс, называются критериями (числами) подобия. Различают определяемые и определяющие критерии подобия. Определяемые критерии содержат зависимую переменную, т. е. искомую величину; определяющие - состоят из независимой переменной и постоянных величин. Решение задачи представляется в форме уравнения подобия (критериального уравнения), в котором определяемые критерии подобия являются однозначной функцией определяющих критериев подобия.

Рассмотрим применяемые в теории теплообмена критерии подобия.

Критерий Нуссельта представляет собой безразмерный коэффициент теп-лоотдачи , выражающий отношение термического сопротивления тепло-проводности слоя жидкости к термическому сопротивлению теплоотдачи:

Nu = α l/λ_ж , Nu = (l/λ_ж) / (1/α_ж), (2.42)

где  - искомая величина (коэффициент теплоотдачи), l - характерный размер, λ_ж - коэффициент теплопроводности среды (жидкости). Определив в результате физических экспериментов критерий Нуссельта Nu, по нему находят коэффи-циент теплоотдачи α.

Выражение для критерия Нуссельта (2.4) получают из анализа дифферен-циального уравнения теплоотдачи (2.3), которое характеризует теплообмен на границе поверхность тела - омывающая среда.

Из анализа дифференциального уравнения движения жидкости получают критерии Рейнольдса и Грасгофа. Критерий Рейнольдса – это мера отношения сил инерции и сил внутреннего трения, он характеризует режим движения жидкости:

Re = w l / ν_ж , (2.43)

где w – скорость движения жидкости, м/с; ν_ж – кинематический коэффициент вязкости жидкости, м² / с.

Критерий Грасгофа – это соотношение подъемной силы, возникающей в жидкости вследствие различия плотности в отдельных слоях, и силы молекулярного трения:

Gr = β g l³ Δt / ν_ж², (2.44)

где g - ускорение свободного падения;  - коэффициент объемного расширения жидкости; t - температурный напор «поверхность тела – жидкость», Δt = t_c – t_ж.

Критерий Фурье, полученный из анализа дифференциального уравнения теплопроводности жидкости, выражает соотношение между скоростью измене-ния условий в окружающей среде и скоростью перестройки температурного поля внутри тела:

Fo = a_ж τ / l², (2.45)

где a_ж - температуропроводность жидкости, м²/с;  - время, с.

Критерий Прандтля характеризует влияние физических свойств жидкости на конвективный теплообмен:

Pr_ж = ν_ж / a_ж. (2.46)

Значения Pr_ж, ν_ж , a_ж приводятся в соответствующих таблицах справочной литературы.

Критерий Био устанавливает соотношение между интенсивностью тепло-отдачи и распределением температуры в твердом теле и является мерой между внутренним и внешним термическими сопротивлениями:

Bi = α l/λ_с , Bi = (1/λ_с ) / (1/α ), (2.47)

где λ_с - коэффициент теплопроводности твердого тела;  - коэффициент тепло-отдачи. От критерия Нуссельта критерий Био отличается тем, что в него входит коэффициент теплопроводности твердого тела, а в критерий Нуссельта – коэф-фициент теплопроводности жидкости. Кроме того, в критерий Био входит коэффициент теплоотдачи α как величина, заданная условиями однозначности; в критерий Нуссельта коэффициент теплоотдачи входит как искомая величина.

Функциональная зависимость между критериями подобия представляет собой критериальное уравнение подобия. Рассмотрим некоторые примеры критериальных уравнений подобия. Для одномерного нестационарного темпе-ратурного поля (одномерная задача теплопроводности) уравнение подобия в обобщенном виде можно записать в следующем виде:

θ/θ₀ = f (Bi, Fo, x/l ), (2.48)

где x/l - относительная координата, вдоль которой происходит изменение температуры во времени; θ/θ₀ - безмерная избыточная температура; θ₀ - начальная избыточная температура: θ₀ = t_ж – t_т , т.е. разность температур жидкости и начальной температуры тела.

Уравнение теплоотдачи в общем виде для вынужденного движения жидкости имеет вид:

Nu = f₁ (Re, Pr_ж), (2.49)

для свободного движения:

Nu = f₂ (Gr, Pr_ж ). (2.50)

В уравнениях (2.49), (2.50) в критерий Нуссельта входит искомая величина - коэффициент теплоотдачи, осредненный для системы теплообмена.

Практически теория подобия используется для обработки опытных дан-ных. Соотношения между числами подобия позволяют получить конкретные уравнения подобия, справедливые для группы подобных между собой явлений.